Домашнє завдання

1. Робітник обслуговує 7 однакових верстатів. Ймовірність того, що верстат поламається на протязі 1 год. дорівнює 0,04. Знайти ймовірність того, що за 1 год. поламається не більше двох верстатів.

2. Ймовірність влучення в ціль при одному пострілі 0,83. Яка ймовірність того, що при 5 пострілах буде 4 влучення?

3. Для прядіння змішали порівну білий та пофарбований хлопок. Яка ймовірність того, що між 5 випадково одібраних волокон буде більше 3 білих?

4. В середньому 93% виробів не має дефектів. Яке найбільш ймовірне число виробів з дефектами буде серед 40 виробів?

5. Відділ технічного контролю перевіряє 35 деталей. Ймовірність того, що деталь стандартна 0,83. Знайти найбільш ймовірне число деталей, які будуть визнані стандартними

6. Ймовірність влучення в ціль при кожному пострілі 0,96. Скільки треба зробити пострілів щоб набільш йморвіне число було 30?

7. Знайти ймовірність того, що між 200 випадково взятих деталей 100 будуть відполірованими, якщо у загальній масі деталей є однакова кулькість відполірованих та не відполірованих.

8. Ймовірність того, що деталь не стандартна 0,04. Яка ймовірність того, що серед 200 деталей буде 190 стандартних?

9. Завод відправив на базу 500 виробів. Ймовірність пошкодження в дорозі 0,001. Знайти ймовірність того, що пошкоджено буде 5 виробів.

10. Знайти ймовірність того, що серед 250 виробів буде від 10 до 15 бракованих, якщо брак в середньому становить 5%.

11. Ймовірність появи події в кожному із 45 незалежних випробівань 0,85. Знайти ймовірність того, що подія з’явиться в більшості випробувань.

12. Монету пидкинули 4000 разів. Знайти ймовірність того, що «герб» випаде 2000 разів.

13. Знайти ймовірність того, що в партії із 800 виробів число першосортних буде від 600 до 700, якщо ймовірність того, що окремо взятий вироб буде першосортний дорівнює 0,6.

14. Під час випробувань 0,7% виробів виходить з ладу. Яка ймовірність того, що серед 1000 виробів буде 8 бракованих?

15. Ймовірність того що будь-який абонент подзвонить на комунатор за 1 год., дорівнює 0,004. Телефона станція обслуговує 500 абонентів. Яка ймовірність того що за 1 годину подзвонить 4 абонента.

Ле­к­ція 5 Озна­чен­ня ви­па­д­ко­вої ве­ли­чи­ни. Фу­н­к­ція розпо­ді­лу ви­па­д­ко­вої

Ве­личи­ни та її вла­с­ти­во­с­ті. Дискретні випадкові величини та їх розподіли

Означення Ви­па­д­ко­вою на­зи­ва­єть­ся ве­ли­чи­на, яка на­бу­ває сво­їх зна­чень з пе­в­ною ймо­ві­р­ні­с­тю.

До ви­па­д­ко­вих ве­ли­чин на­ле­жать, на­при­клад, та­кі кі­ль­кість очок, яка ви­па­ла на гра­ні гра­ль­ної ко­с­ті кі­ль­кість ви­кли­ків на ав­то­ма­ти­ч­ній те­ле­фон­ній ста­н­ції да­ль­ність польо­ту сна­ря­да час без­від­мовної ро­бо­ти ма­ши­ни. Де­які з цих ве­ли­чин мо­жуть на­бу­ва­ти дис­кре­т­них зна­чень, ре­ш­та – до­ві­ль­них зна­чень з пе­в­но­го ін­тер­ва­лу. Пе­р­ші ве­ли­чи­ни є дис­кре­т­ни­ми, дру­гі – не­пе­ре­рвни­ми.

Означення Дис­кре­т­ною на­зи­ва­єть­ся ви­па­д­ко­ва ве­ли­чи­на, зна­чен­ня­ми якої є окре­мі то­ч­ки чи­с­ло­вої пря­мої.

Ви­па­д­ко­ва по­дія – це окре­мий ви­па­док дис­кре­т­ної ве­ли­чи­ни, яка на­бу­ває зна­чень х₁ =1 (А) і х₂ = 0 ( ).

Ча­с­то ви­па­д­ко­ві ве­ли­чи­ни по­зна­ча­ють лі­те­ра­ми X, Y,… , а їх зна­чен­ня x₁, x₂, . . ., x_n y₁, y₂, . . . , y_n,….

Означення За­ко­ном роз­по­ді­лу ви­па­д­ко­вої ве­ли­чи­ни на­зи­ва­єть­ся за­кон, за яким ко­ж­но­му її значенню відповідає певна ймовірність цього значення.

Закон розподілу можна задати  таблично, перелічивши всі значення x_і і відповідні p_і

Х х₁ х₂ . . . х_n

Р р₁ р₂ . . . р_n

(р₁+р₂ + . . .+ р_n = 1),

а також графічно і аналітично. У разі дискретної величини для графічного зображення будують точки (x_і, p_і) і з’єднують сусідні точки відрізками прямих. Утворену фігуру називають многокутником розподілу.

Приклад

У лотереї 100 білетів. Випадкова величина Х – сума виграшу по одному білету набуває таких вартостей  10 гривень (1 білет), 5 гривень (3 білети), 1 гривня (10 білетів). Знайти закон розподілу Х.

Розв’язування. Маємо

Х 10 5 1 0

Р 0,01 0,03 0,1 0,86

Означення Інтегральною функцією розподілу випадкової величини Х називається ймовірність того, що Х набуває значень, менших від вказаного фіксованого значення, точніше

F (X) = P(X < x) (5.1)

Приклад

Знайти інтегральну функцію для величини Х, де значенням х₁ = 1, х₂ = 2, х₃ = 3 відповідають ймовірності р₁ = 0,2, р₂ = 0,3, р₃ = 0,5.

Розв’язування. Згідно з (5.1)

для    х 1 маємо F = 0 ( зліва точки х = 1 значень немає); для 1 < х  2 маємо F (х) = 0,2 ( у цьому інтервалі є лише одне значення х з ймовірністю 0,2);

для 2 < х  3 маємо F (х) = 0,2 +0,3 = =0,5 ( у цьому інтервалі Х може набувати або значення 1 з імовірністю 0,2 ,або значення 2 з імовірністю 0,3).

Нарешті, при х > 3 маємо F (Х) = 0,2 + 0,3 + 0,5 = 1.

Отже,

0, якщо -∞< х ≤ 1;

F(x) = 0,2, якщо 1< х ≤ 2;

0,5, якщо 2 < х ≤3 ;

1, якщо х > 3.

Властивості F (х):

1. 0 ≤ F(x) ≤ 1 ( випливає з означення F (х)).

2. Р ( х₁< Х < x₂) = F (х₂) - F (х₁).

3. F(х) - неспадна функція, ( х₂ > х₁) = > (F (х₂) ≥F (х₁).).

4. Для неперервної випадкової величини ймовірність прийняти окреме значення дорівнює нулю:

Р ( Х = х₀ ) = 0.

5. Якщо значення Х зосереджені на [ a, b ], то F (X) = 0 при x ≤ а і F (X) = 1 при х > b.

Застосовуємо ймовірність неможливої й вірогідної події.

Дискретні випадкові величини належать до скінченої або зліченної множини значень. Нехай Х- дискретна величина, що набуває значення х₁< x₂< x₃...з ймовірностями р₁, р₂ , р₃ ...., причому сума всіх ймовірностей дорівнює одиниці. Функція розподілу дискретної випадкової величини

F (x) = P { X < x} = P { X =x₁ } + P { X = x₂ } +…= ∑ p_i при х_i < x.

На проміжках (-∞, х₁)(х₁,х₂ )( х₂, х₃) . . . функція розподілу має постійні значення. В точках х₁, х₂,х₃, . . . функція розподілу зростає стрибком, який дорівнює ймовірності того, що випадкова величина набуде певного значення х_і.

Найчастіше зустрічаються такі закони розподілу дискретних випадкових величин.

1. Рівномірний розподіл

P{X = m} = 1/n; m= 1,2,3. . .n

2. Гіпергеометричний розподіл

Р{X = m} = , m = 0,1…. min ( M, n)

Гіпергеометричний розподіл характерний для такої задачі: в партії з N виробів М виробів першого ґатунку і N- М виробів другого ґатунку. З партії для контролю відбирається n виробів. Закон розподілу кількості m-виробів першого ґатунку у відібраній партії є гіпергеометричним.

3. Геометричний розподіл

Р{ X = m} = q ^m-1 • p, m = 1, 2, 3…; 0 < p < 1.

Геометричний розподіл має випадкова величина Х, що дорівнює кількості випробувань в схемі Бернуллі до першого успіху ( невдачі). Наприклад, якщо р – ймовірність влучити в мішень при одному пострілі, то Х – це кількість патронів, що була витрачена до першого влучного пострілу.

4. Біноміальний розподіл

Р{ X = m}= Р_n (m) = C ; m = 0, 1, 2, …n

Цей закон описує ймовірність для випадкової величини Х, яка відповідає кількості успіхів (невдач) у схемі Бернуллі. Цим законом описуються, наприклад, кількість випадань герба при фіксованій кількості підкидань монети або кількість бракованих виробів у вибірці з обмеженої партії продукції. Тоді n – кількість підкидань монети або деталей у відібраній партії, р – ймовірність випадання герба при одному підкиданні (1 /2) або ймовірність браку у загальній партії деталей,

m- значення величини Х, що змінюється від 0 до n, q =1-р.