Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
TJ-konspekt-lektsiy.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
17.11.2019
Размер:
479.05 Кб
Скачать

Домашнє завдання

Скласти рівняння прямої регресії у по х:

хі

-13

-12

-11

-10

-9

-8

уі

32

36

21

20

18

15

Лекція 14 Поняття про дисперсійний аналіз. Однофакторний дисперсійний аналіз

Задача дисперсійного аналізу

В будь-якому експерименті середні значення досліджуваних величин

змінюються у зв’язку зі зміною основних факторів (кількісних та якісних),

що визначають умови досліду, а також і випадкових факторів. Дослідження

впливу тих чи інших факторів на мінливість середніх є задачею дисперсійного аналізу.

Дисперсійний аналіз використовує властивість адитивності дисперсії випадкової величини, що обумовлено дією незалежних факторів. В залежності від числа джерел дисперсії розрізняють однофакторний та багатофакторний дисперсійний аналіз.

Дисперсійний аналіз особливо ефективний при вивченні кількох факторів. При класичному методі вивчення змінюють тільки один фактор, а решту залишають постійними. При цьому для кожного фактору проводиться своя серія спостережень, що не використовується при вивченні інших факторів. Крім того, при такому методі досліджень не вдається визначити взаємодію факторів при одночасній їх зміні. При дисперсійному аналізі кожне спостереження служить для одночасної оцінки всіх факторів та їх взаємодії.

Дисперсійний аналіз полягає у виділенні і оцінці окремих факторів, що викликають зміну досліджуваної випадкової величини. При цьому проводиться розклад сумарної вибіркової дисперсії на складові, обумовлені незалежними факторами. Кожна з цих складових є оцінкою дисперсії генеральної сукупності. Щоб вирішити, чи дієвий вплив даного фактору, необхідно оцінити значимість відповідної вибіркової дисперсії у порівнянні з дисперсією відтворення, обумовленою випадковими факторами. Перевірку значимості оцінок дисперсії проводять по критерію Фішера. Коли розрахункове значення критерію Фішера виявиться меншим табличного, то вплив досліджуваного фактору немає підстав вважати значимим. Коли ж розрахункове значення критерію Фішера виявиться

більшим табличного, то цей фактор впливає на зміни середніх. В подальшому ми вважаємо, що виконуються наступні припущення:

1) випадкові помилки спостережень мають нормальний розподіл;

2) фактори впливають тільки на зміну середніх значень, а дисперсія

спостережень залишається постійною.

Фактори, що розглядаються в дисперсійному аналізі, бувають двох

родів: 1) з випадковими рівнями та 2) з фіксованими. В першому випадку

мається на увазі, що вибір рівнів проходить з безмежної сукупності можливих рівнів та супроводжується рандомізацією. Якщо рівні вибираються випадковим чином, математична модель експерименту називається модель з випадковими рівнями факторів (випадкова модель). Коли всі рівні фіксовані – модель з фіксованими рівнями факторів. Коли частина факторів розглядається на фіксованих рівнях, рівні решти вибираються випадковим чином – модель змішаного типу.

Дисперсійний аналіз застосовується в різних формах в залежності від

структури об’єкту, що досліджується; вибір відповідної форми є однією з головних трудностей в практичному застосуванні аналізу.

Однофакторний дисперсійний аналіз

Розглядається дія одиничного фактору А (кількісного чи якісного), котрий приймає k різних значень (рівнів фактора). Найбільш прості розрахунки виходять при рівній кількості дослідів на кожному рівні фактора А (табл. 1).

Таблиця 1

Вихідні дані для однофакторного дисперсійного аналізу

з рівним числом паралельних дослідів

Номер випробування, і

Рівні фактора А

А1

А2

Аk

1

y11

y21

yk1

2

y12

y22

yk2

n

y1n

y2n

ykn

Разом

A 1=∑ y1j

A 2=∑ y2j

A k =∑ yk j

Дисперсійний аналіз можна провести за наступним алгоритмом:

підраховують

1. Суми по стовпцях

A i =∑ yi j (14.1)

2. Суму квадратів всіх дослідів

SS1= ∑∑ yi j2 (14.2)

3. Суму квадратів сум по стовпцях, поділену на число дослідів в

стовпцю

SS2=1/n∑ A i2 (14.3)

4. Квадрат загальної суми, поділений на число всіх дослідів (коректуючий член)

SS3=1/ N(∑ A i )2 (14.4)

5. Сума квадратів для стовпчика

SSA=SS2-SS3 (14.5)

6. Загальну суму квадратів, рівну різниці між сумою квадратів всіх

дослідів та коректуючим членом

SSзаг.=SS1-SS3 (14.6)

7. Залишкову суму квадратів для оцінки помилки експерименту

SSзал=SS1-SS2 (14.7)

8. Дисперсію sA2

sA2= SSA/(k-1) (14.8)

9. Дисперсію sпом2

sпом2=SSзал/(k(n-1)) (14.9)

Результати розрахунків, за звичай, представляють у вигляді таблиці

дисперсійного аналізу (табл. 2).

Таблиця 2

Однофакторний дисперсійний аналіз

(з рівним числом паралельних дослідів)

Джерело

дисперсії

Число ступ.

вільності

Сума

квадратів

Середній

квадрат

Мат. сподіван-

ня середнього

квадрату

А

k-1

SSA

sA2

A2пом 2

Залишок

k(n-1)

SSзал

sпом2

σпом 2

Загальна сума

kn-1

SSзаг

SSзаг/(kn −1)

Коли співвідношення sA2/sпом2 F1-p, то вплив фактора А слід вважати незначним. При цьому загальна дисперсія s2 пов’язана тільки з фактором випадковості і може служити оцінкою для дисперсії відтворення. Така оцінка краща від sпом2, бо має більше число степенів вільності.

Коли справедлива нерівність

sA2/ sпом2 > F1-p(f1,f2) (14.10)

f1 = k-1

f2 = k(n-1) = N - k

різниця між дисперсіями sA2 та sпом2 значна і, відповідно, значний вплив

фактора А.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]