Домашнє завдання

Скласти рівняння прямої регресії у по х:

хі	-13	-12	-11	-10	-9	-8
уі	32	36	21	20	18	15

Лекція 14 Поняття про дисперсійний аналіз. Однофакторний дисперсійний аналіз

Задача дисперсійного аналізу

В будь-якому експерименті середні значення досліджуваних величин

змінюються у зв’язку зі зміною основних факторів (кількісних та якісних),

що визначають умови досліду, а також і випадкових факторів. Дослідження

впливу тих чи інших факторів на мінливість середніх є задачею дисперсійного аналізу.

Дисперсійний аналіз використовує властивість адитивності дисперсії випадкової величини, що обумовлено дією незалежних факторів. В залежності від числа джерел дисперсії розрізняють однофакторний та багатофакторний дисперсійний аналіз.

Дисперсійний аналіз особливо ефективний при вивченні кількох факторів. При класичному методі вивчення змінюють тільки один фактор, а решту залишають постійними. При цьому для кожного фактору проводиться своя серія спостережень, що не використовується при вивченні інших факторів. Крім того, при такому методі досліджень не вдається визначити взаємодію факторів при одночасній їх зміні. При дисперсійному аналізі кожне спостереження служить для одночасної оцінки всіх факторів та їх взаємодії.

Дисперсійний аналіз полягає у виділенні і оцінці окремих факторів, що викликають зміну досліджуваної випадкової величини. При цьому проводиться розклад сумарної вибіркової дисперсії на складові, обумовлені незалежними факторами. Кожна з цих складових є оцінкою дисперсії генеральної сукупності. Щоб вирішити, чи дієвий вплив даного фактору, необхідно оцінити значимість відповідної вибіркової дисперсії у порівнянні з дисперсією відтворення, обумовленою випадковими факторами. Перевірку значимості оцінок дисперсії проводять по критерію Фішера. Коли розрахункове значення критерію Фішера виявиться меншим табличного, то вплив досліджуваного фактору немає підстав вважати значимим. Коли ж розрахункове значення критерію Фішера виявиться

більшим табличного, то цей фактор впливає на зміни середніх. В подальшому ми вважаємо, що виконуються наступні припущення:

1) випадкові помилки спостережень мають нормальний розподіл;

2) фактори впливають тільки на зміну середніх значень, а дисперсія

спостережень залишається постійною.

Фактори, що розглядаються в дисперсійному аналізі, бувають двох

родів: 1) з випадковими рівнями та 2) з фіксованими. В першому випадку

мається на увазі, що вибір рівнів проходить з безмежної сукупності можливих рівнів та супроводжується рандомізацією. Якщо рівні вибираються випадковим чином, математична модель експерименту називається модель з випадковими рівнями факторів (випадкова модель). Коли всі рівні фіксовані – модель з фіксованими рівнями факторів. Коли частина факторів розглядається на фіксованих рівнях, рівні решти вибираються випадковим чином – модель змішаного типу.

Дисперсійний аналіз застосовується в різних формах в залежності від

структури об’єкту, що досліджується; вибір відповідної форми є однією з головних трудностей в практичному застосуванні аналізу.

Однофакторний дисперсійний аналіз

Розглядається дія одиничного фактору А (кількісного чи якісного), котрий приймає k різних значень (рівнів фактора). Найбільш прості розрахунки виходять при рівній кількості дослідів на кожному рівні фактора А (табл. 1).

Таблиця 1

Вихідні дані для однофакторного дисперсійного аналізу

з рівним числом паралельних дослідів

Номер випробування, і	Рівні фактора А
	А1	А2	…	Аk
1	y11	y21	…	yk1
2	y12	y22	…	yk2
…	…	…	…	…
n	y1n	y2n	…	ykn
Разом	A 1=∑ y1j	A 2=∑ y2j	…	A k =∑ yk j

Дисперсійний аналіз можна провести за наступним алгоритмом:

підраховують

1. Суми по стовпцях

A _i =∑ y_{i j} (14.1)

2. Суму квадратів всіх дослідів

SS₁= ∑∑ y_{i j}² (14.2)

3. Суму квадратів сум по стовпцях, поділену на число дослідів в

стовпцю

SS₂=1/n∑ A _i² (14.3)

4. Квадрат загальної суми, поділений на число всіх дослідів (коректуючий член)

SS₃=1/ N(∑ A _i )² (14.4)

5. Сума квадратів для стовпчика

SS_A=SS₂-SS₃ (14.5)

6. Загальну суму квадратів, рівну різниці між сумою квадратів всіх

дослідів та коректуючим членом

SSзаг.=SS₁-SS₃ (14.6)

7. Залишкову суму квадратів для оцінки помилки експерименту

SS_зал=SS₁-SS₂ (14.7)

8. Дисперсію s_A²

s_A²= SS_A/(k-1) (14.8)

9. Дисперсію s_пом²

s_пом²=SS_зал/(k(n-1)) (14.9)

Результати розрахунків, за звичай, представляють у вигляді таблиці

дисперсійного аналізу (табл. 2).

Таблиця 2

Однофакторний дисперсійний аналіз

(з рівним числом паралельних дослідів)

Джерело дисперсії	Число ступ. вільності	Сума квадратів	Середній квадрат	Мат. сподіван- ня середнього квадрату
А	k-1	SSA	sA2	nσA2 +σпом 2
Залишок	k(n-1)	SSзал	sпом2	σпом 2
Загальна сума	kn-1	SSзаг	SSзаг/(kn −1)

Коли співвідношення s_A²/s_пом² ≤ F_1-p, то вплив фактора А слід вважати незначним. При цьому загальна дисперсія s² пов’язана тільки з фактором випадковості і може служити оцінкою для дисперсії відтворення. Така оцінка краща від s_пом², бо має більше число степенів вільності.

Коли справедлива нерівність

s_A²/ s_пом² > F_1-p(f₁,f₂) (14.10)

f₁ = k-1

f₂ = k(n-1) = N - k

різниця між дисперсіями s_A² та s_пом² значна і, відповідно, значний вплив

фактора А.