6. Приложения.
6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.
1
– 10. Вычислить
определитель:
а) непосредственным разложением по строке;
б) непосредственным разложением по столбцу;
Решение.
а) вычисляем
определитель разложением по элементам
первой строки:
=
.
Тогда
=
=
б)
вычисляем
определитель непосредственным разложением
по элементам второго столбца:
=
.
Тогда
=
=
.
Ответ:
.
11-20.
Найти матрицу
,
если:
,
.
Решение:
1)
Транспонируем
матрицу
:
.
2)
Вычисляем
произведение матриц
:
.
3)
Находим
матрицу
:
.
4)
Находим
матрицу
:
.
Ответ:
.
21-30. Найти собственные числа и векторы матрицы .
Множество
собственных чисел матрицы совпадает с
множеством корней характеристического
уравнения матрицы
:
,
а множество
собственных векторов, отвечающих
собственному числу
,
совпадает с множеством ненулевых решений
матричного уравнения:
,
определяемым методом Гаусса.
Решение:
1) Составляем характеристическое уравнение матрицы :
.
Записываем его в виде алгебраического уравнения и находим действительные корни (среди них могут быть и кратные):
,
.
Таким
образом, собственными числами матрицы
являются:
и
.
2)
Находим
собственные векторы матрицы
,
отвечающие различным собственным числам
и
.
2.1)
Составляем
матричное уравнение
для нахождения
собственных векторов
,
отвечающих собственному числу
:
или
,
записываем
его в виде системы линейных уравнений:
и решаем методом Гаусса. Полученная
система, очевидно, эквивалентна системе
,
имеющей специальный (трапециевидный)
вид. Такая система имеет бесконечно
много решений,
которые
записывают в
виде общего решения. Для записи общего
решения этой системы указываем её
базисные и свободные неизвестные.
Базисными являются неизвестные, столбцы
коэффициентов системы при которых
образуют базисный минор матрицы этой
системы. Такой минор образует, например,
столбец коэффициентов при неизвестной
:
.
Поэтому выбираем в качестве базисной
– неизвестную
,
тогда свободными будут неизвестные
и
.
Свободным неизвестным придаём разные,
произвольные постоянные значения:
,
,
где
,
,
одновременно, и выражаем через них
значение базисной неизвестной из
уравнения системы:
.
Тогда общее решение системы, задающее
множество всех собственных векторов
,
отвечающих собственному числу
будет иметь вид:
.
2.2)
Составляем
матричное уравнение
для нахождения
собственных векторов
,
отвечающих собственному числу
:
или
,
записываем
его в виде системы линейных уравнений:
и решаем методом Гаусса. Полученная
система, очевидно, эквивалентна системе
,
имеющей специальный (трапециевидный)
вид. Система имеет бесконечно
много решений.
Для записи её общего решения указываем
базисные и свободные неизвестные.
Базисный минор матрицы системы образуют
столбцы коэффициентов при неизвестных
и
:
.
Поэтому выбираем в качестве базисных
– неизвестные
и
,
тогда свободной будет неизвестная
.
Свободной неизвестной придаём произвольное
постоянное значение:
,
где
и выражаем через неё значения базисных
неизвестных
и
из уравнений системы специального
(трапециевидного) вида, начиная с
последнего уравнения:
.
Тогда общее решение системы, задающее
множество всех собственных векторов
,
отвечающих собственному числу
,
будет иметь вид:
,
.
Ответ: , , , ;
, , .
31 – 40. Дана
система уравнений:
.
Требуется:
а) найти решение системы методом Крамера; б) записать систему в матричном виде и найти её решение методом обратной матрицы; в) найти решение системы методом Гаусса.
Решение.
А) Метод Крамера.
1а) Вычисляем определитель системы и проверяем, что он отличен от нуля:
.
2а)
Так как
,
то система имеет единственное решение,
определяемое формулами Крамера:
3а)
Вычисляем
определители
:
,
,
.
4а)
Находим решение:
.
5а)
Выполняем
проверку:
.
Ответ:
.
Б) Метод обратной матрицы.
1б) Записываем систему уравнений в матричном виде:
или
2б) Вычисляем определитель системы и проверяем, что он отличен от нуля:
3б)
Так как
,
то матрица системы
имеет обратную матрицу
и единственное решение системы
определяется формулой:
или
4б)
Находим
обратную матрицу
(методом присоединённой матрицы):
.
Тогда
.
5б)
Находим
решение:
.
6б)
Выполняем
проверку:
.
Ответ:
.
В) Метод Гаусса.
1в) Записываем расширенную матрицу системы:
.
2в) Выполняем прямой ход метода Гаусса.
В
результате прямого хода матрица системы
должна быть преобразована с помощью
элементарных преобразований строк к
матрице
треугольного или трапециевидного вида
с элементами
.
Система уравнений, матрица которой
является треугольной с элементами
,
имеет единственное решение, а система
уравнений, матрица которой
является трапециевидной с элементами
,
имеет бесконечно много решений.
.
В результате
элементарных преобразований матрица
системы преобразована к специальному
виду
.
Система уравнений, матрица которой
,
является треугольной с ненулевыми
диагональными элементами
,
имеет всегда единственное решение,
которое находим, выполняя обратный ход.
Замечание.
Если при выполнение преобразования
расширенной матрицы
в преобразованной матрице
появляется строка
,
где
,
то это говорит о несовместности исходной
системы уравнений.
3в) Выполняем обратный ход метода Гаусса.
Записываем
систему уравнений, соответствующую
последней расширенной матрице прямого
хода:
и последовательно из уравнений системы,
начиная с последнего, находим значения
всех неизвестных:
.
4в) Выполняем проверку: .
Ответ: .
41-50. Найти общее решение для каждой из данных систем методом Гаусса:
а)
.
Решение.
1а) Записываем расширенную матрицу системы:
.
2а) Выполняем прямой ход метода Гаусса.
.
Матрица
системы приведена к трапециевидному
виду с ненулевыми диагональными
элементами. Соответствующая такой
матрице система уравнений имеет
бесконечно много решений, которые
находим, выполняя обратный ход, и
записываем в виде общего решения. Для
записи общего решения указываем её
базисные и свободные неизвестные.
Базисный минор матрицы системы образуют
столбцы коэффициентов при неизвестных
и
:
.
Поэтому выбираем в качестве базисных
– неизвестные
и
,
тогда свободными будут неизвестные
и
.
3а) Выполняем обратный ход метода Гаусса.
Записываем
систему уравнений, соответствующую
последней расширенной матрице прямого
хода:
.
Свободным неизвестным придаём разные,
произвольные постоянные значения:
,
,
и последовательно из уравнений системы,
начиная с последнего, находим значения
всех базисных неизвестных:
.
Тогда
общее решение системы запишется в виде:
.
4а) Выполняем проверку:
.
Ответ: .
б)
.
Решение.
1а) Записываем расширенную матрицу системы:
.
2а) Выполняем прямой ход метода Гаусса.
Замечание. В результате прямого хода матрица системы должна быть преобразована с помощью элементарных преобразований строк к матрице треугольного или трапециевидного вида с элементами .
Если, при выполнении преобразования расширенной матрицы , в преобразованной матрице появляется строка , где , то это говорит о несовместности исходной системы уравнений.
Для выполнения условия может потребоваться перестановка местами столбцов матрицы системы. Если при выполнении преобразований прямого хода в матрице системы переставлялись местами столбцы коэффициентов при неизвестных, то в дальнейшем, при записи системы уравнений, соответствующей последней расширенной матрице прямого хода, это следует учесть.
.
Матрица
системы приведена к трапециевидному
виду с ненулевыми диагональными
элементами. Соответствующая такой
матрице система уравнений имеет
бесконечно много решений, которые
находим, выполняя обратный ход, и
записываем в виде общего решения. Для
записи общего решения указываем её
базисные и свободные неизвестные.
Базисный минор матрицы системы, с учётом
перестановки местами столбцов, образуют
первый и второй столбцы коэффициентов
при неизвестных
и
:
.
Поэтому выбираем в качестве базисных
– неизвестные
и
,
тогда свободными будут неизвестные
и
.
3б) Выполняем обратный ход метода Гаусса.
Записываем
систему уравнений, соответствующую
последней расширенной матрице прямого
хода:
.
Свободным неизвестным придаём разные,
произвольные постоянные значения:
,
,
и последовательно из уравнений системы,
начиная с последнего, находим значения
всех базисных неизвестных:
.
Тогда общее решение системы запишется в виде:
4б) Выполняем проверку:
Ответ: .
в)
.
Решение.
1в) Записываем расширенную матрицу системы:
.
2в) Выполняем прямой ход метода Гаусса.
.
При
выполнении преобразования расширенной
матрицы
,
в преобразованной матрице
появилась строка
,
соответствующая уравнению
,
которому не удовлетворяет ни один набор
значений неизвестных
,
что говорит о несовместности исходной
системы уравнений.
Ответ: Система несовместна.
51 – 60. Исследовать квадратичную форму на знакоопределённость (по критерию Сильвестра).
а)
;
б)
Решение.
1а)
Записываем
матрицу квадратичной формы:
.
2а)
Проверяем является ли матрица
невырожденной. Для этого вычисляем её
определитель
и проверяем, равен ли он нулю:
.
Так как
,
то матрица
- невырожденная и, следовательно, для
исследования квадратичной формы на
знакоопределённость можно применить
критерий Сильвестра.
3а)
Вычисляем
угловые миноры матрицы
и делаем вывод о знакоопределённости
квадратичной формы:
,
,
.
Так как выполняется условие:
,
,
,
то по критерию Сильвестра квадратичная
форма положительно определена.
Ответ: Квадратичная форма положительно определена.
1б)
Записываем
матрицу квадратичной формы:
.
2б)
Вычисляем её определитель
и проверяем, равен ли он нулю:
.
Так как
,
то матрица
- невырожденная и, следовательно, для
исследования квадратичной формы на
знакоопределённость можно применить
критерий Сильвестра.
3б)
Вычисляем
угловые миноры матрицы
и делаем вывод о знакоопределённости
квадратичной формы:
,
,
.
Так как два угловых минора нечётного
порядка имеют разные знаки:
,
,
то по критерию Сильвестра квадратичная
форма знакопеременна.
Ответ: Квадратичная форма знакопеременна.
61
– 70. Даны
векторы
:
;
;
;
.
Требуется: а)
вычислить
скалярное произведение векторов
,
если
,
;
б) вычислить
векторное произведение векторов
;
в)
показать,
что векторы
образуют базис
и найти координаты вектора
в
этом базисе.
Решение.
1a). Находим вектор
=
.
2а) Находим вектор
=
.
3а) Вычисляем скалярное произведение векторов :
.
б) Вычисляем векторное произведение векторов :
=
1в)
Покажем, что
векторы
образуют
базис
.
Для этого
составим определитель, столбцами
которого являются координаты этих
векторов и покажем, что он отличен от
нуля.
.
Так
как
,
то векторы
образуют
базис
и, следовательно,
вектор
единственным образом можно разложить
по векторам этого базиса.
2в)
Записываем
разложение вектора
по векторам базиса
:
или
.
Коэффициенты
разложения
,
,
называют координатами вектора
в базисе
и записывают:
.
3в)
Записываем
векторное уравнение относительно
,
,
в виде эквивалентной ему системы линейных
уравнений:
,
и находим единственное решение системы,
например, по формулам Крамера:
,
где
,
,
,
.
Таким
образом:
,
,
.
Следовательно, разложение имеет вид:
или кратко:
.
Ответ:
.
71-80.
Даны вершины
треугольника
:
,
,
Требуется найти:
а)
длину стороны
;
б) уравнение
стороны
;
в)
уравнение
медианы
,
проведённой из вершины
;
г)
уравнение
высоты
,
проведённой из вершины
;
д) длину высоты ; е) площадь треугольника . Сделать чертёж.
Решение. Сделаем чертёж:
а)
Длину
стороны
находим как
длину вектора
:
,
.
б)
Уравнение
стороны
находим как уравнение прямой, проходящей
через точки
и
,
и записываем его в виде общего уравнения
прямой:
.
в)
Уравнение
медианы
находим как уравнение прямой, проходящей
через точки
и
,
и записываем его в виде общего уравнения
прямой. Неизвестные координаты точки
находим как координаты точки, делящей
сторону
пополам:
;
.
Тогда:
.
г)
Уравнение
высоты
находим как уравнение прямой, проходящей
через точку
перпендикулярно вектору
,
который принимаем за нормальный вектор
прямой
.
Тогда
д)
Длину
высоты
находим как расстояние от точки
до прямой
,
заданной общим уравнением
:
.
е)
Площадь
треугольника
находим по
формуле:
.
Откуда
.
Ответ:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
81 – 90. Даны вершины пирамиды . Требуется найти:
а)
длины ребер
и
;
б) угол
между ребрами
и
;
в)
площадь
грани
;
г) объем
пирамиды
;
д) уравнение плоскости грани ;
е) длину высоты пирамиды .
Решение.
а)
Длины
рёбер
и
находим как
длины векторов
и
:
;
;
;
.
б)
Угол
между рёбрами
и
находим как
угол между векторами
и
по формуле:
.
Учитывая, что:
,
,
получим
.
Откуда
в)
Площадь
грани
находим,
используя геометрический смысл векторного
произведения векторов, по формуле
.
Учитывая, что:
,
,
получим
.
г)
Объём
пирамиды
находим,
используя геометрический смысл смешанного
произведения векторов, по формуле
.
Учитывая, что:
,
,
получим
.
д)
Уравнение
плоскости грани
находим как уравнение плоскости,
проходящей через точки
,
и
,
и записываем его в виде общего уравнения
плоскости:
е)
Длину
высоты
пирамиды
находим как расстояние от точки
до плоскости
,
заданной общим уравнением
:
.
Ответ:
а)
,
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
91–100. Установить, какую невырожденную кривую определяет алгебраическое уравнение второго порядка, построить её:
а)
;
б)
;
в)
.
Решение:
а)
Так как
,
,
то уравнение определяет гиперболу с
центром в точке
и осями симметрии, параллельными
координатным осям:
.
Вид кривой и расположение её на плоскости
известны. Выделяя полные квадраты в
левой части уравнения
,
преобразуем
его следующим образом:
.
Полученное
уравнение определяет гиперболу с центром
в точке
и осями симметрии параллельными
координатным осям. Для построения
гиперболы в системе координат
:
1)
отмечаем центр гиперболы
;
2)
проводим через центр
пунктиром оси симметрии гиперболы; 3)
строим пунктиром основной прямоугольник
гиперболы с центром
и сторонами
и
параллельными осям симметрии; 4)
проводим
через противоположные вершины основного
прямоугольника пунктиром прямые,
являющиеся асимптотами гиперболы, к
которым неограниченно близко при
бесконечном удалении от начала координат
приближаются ветви гиперболы, не
пересекая их; 5)
изображаем сплошной линией ветви
гиперболы (рис. 1).
Ответ: Гипербола с центром в точке (см. рис.1)..
Рис.1
б)
Так как
,
,
,
то уравнение определяет эллипс с центром
в точке
и осями симметрии, параллельными
координатным осям:
.
Вид кривой и расположение её на плоскости
известны. Выделяя полные квадраты в
левой части
уравнения
,
преобразуем
его следующим образом:
.
Полученное
уравнение определяет эллипс с центром
в точке
и осями симметрии параллельными осям
координат. Для построения эллипса в
системе координат
:
1)
отмечаем центр эллипса
;
2)
проводим через центр
пунктиром оси симметрии эллипса; 3)
строим пунктиром основной прямоугольник
эллипса с центром
и сторонами
и
параллельными осям симметрии; 4)
изображаем сплошной линией эллипс,
вписывая его в основной прямоугольник
так, чтобы эллипс касался его сторон в
точках пересечения прямоугольника с
осями симметрии (рис.2).
Ответ: Эллипс с центром в точке (см. рис.2).
в)
Так как
,
,
,
то уравнение определяет параболу с
вершиной в точке
и осью симметрии, параллельной координатной
оси
:
.
Вид кривой и расположение её на плоскости
известны. Выделяя полные квадраты в
левой части уравнения
,
преобразуем
его следующим образом:
Полученное
уравнение определяет параболу с вершиной
в точке
и осью симметрии параллельной оси
.
Для построения параболы в системе
координат
:
1)
отмечаем вершину параболы
;
2)
проводим через вершину
пунктиром ось симметрии параболы; 3)
изображаем сплошной линией параболу,
направляя её ветвь, с учётом того, что
параметр параболы
,
в положительную сторону оси
(рис.3).
Ответ: Парабола с вершиной в точке (см. рис.3).
Рис.2. Рис.3.
101-110. Требуется: а) изобразить графически область решений системы неравенств; б) найти графическим способом решение задачи линейного программирования.
Решение.
1а)
Для построения
области решений строим в системе
координат
соответствующие заданным
ограничениям-неравенствам граничные
прямые:
,
,
,
,
,
.
Прямая
проходит через точки
и
;
- через точки
и
;
- через точки
и
;
совпадает с осью
;
совпадает с осью
;
проходит через точку
параллельно оси
.
2а)
Находим
полуплоскости
,
,
,
,
и
в которых выполняются неравенства. Для
этого выбираем «пробную» точку и
проверяем, удовлетворяет ли она
ограничению-неравенству. Если
удовлетворяет, то данное неравенство
выполняется в полуплоскости, содержащей
«пробную» точку. В противном случае
берётся полуплоскость, не содержащая
«пробной» точки. В качестве «пробной»
точки выбирают любую точку, не принадлежащую
граничной прямой, например, начало
координат
для нахождения полуплоскостей
,
,
,
.
Полуплоскости,
в которых неравенства выполняются,
отмечаем стрелками, направленными
внутрь данной полуплоскости.
3а)
Строим
область решений
как область, являющуюся пересечением
полуплоскостей
,
отмечая её штриховкой (см. рис. 4).
Для
решения задачи линейного программирования
графическим способом: 1б)
Строим нормальный вектор
прямой
,
являющейся линией уровня целевой функции
.
(вектор
показывает направление возрастания
значений целевой функции).
2б)
Перпендикулярно
вектору
проводим пунктиром линию уровня
.
3б)
Параллельным перемещением линии уровня
находим крайние точки области допустимых
решений
,
в которых целевая функция достигает
минимума – точку
и максимума – точку
.
4б)
Определяем координаты точек
и
.
Точку
(точка пересечения прямых
и
)
находим решая систему уравнений
.
Откуда
.
Точку
(точка пересечения прямых
и
)
находим решая систему уравнений
.
Откуда
.
5б) Вычисляем:
и
.
Рис. 4
Ответ:
а) Область
(см. рис.4)
б)
;
.
111-120.
Имеются
данные о работе трёх отраслей экономики
в отчётном периоде и план выпуска
конечной продукции
в следующем периоде (в усл. ден. ед.).
Требуется, используя модель Леонтьева
многоотраслевой экономики, найти: а)
матрицы коэффициентов прямых и полных
затрат; б)
плановые объёмы выпуска валовой продукции
каждой из отраслей, межотраслевые
поставки и объёмы выпуска чистой
продукции. В ответе записать данные
межотраслевого баланса планового
периода. (Указание:
значения
коэффициентов прямых и полных затрат
вычислить с точностью до 0.01; значения
плановых объёмов выпуска валовой и
чистой продукции, межотраслевых поставок
округлить до целых значений).
Отрасли производства |
Отрасти потребления |
Конечный продукт |
Валовой продукт |
||
I |
II |
III |
|||
I |
20 |
25 |
105 |
50 |
200 |
II |
60 |
75 |
70 |
45 |
250 |
III |
60 |
50 |
140 |
100 |
350 |
Чистый продукт |
60 |
100 |
35 |
|
|
Валовой продукт |
200 |
250 |
350 |
|
|
Решение.
1)
Находим матрицу
коэффициентов прямых затрат
(
- номер отрасли производства,
- номер отрасли потребления) и устанавливаем
её продуктивность:
,
,
,
,
,
,
.
Таким
образом
.
Так
как
(
)
и
,
то матрица
продуктивна и, следовательно, для любого
существует решение
уравнения Леонтьева:
,
записываемое в виде
,
где
- единичная матрица,
- матрица коэффициентов полных затрат,
и
-
векторы (матрицы-столбцы) валового
выпуска и конечного продукта, соответственно
.
2а) Находим матрицу:
.