- •Высшего профессионального образования
- •Алгебра и геометрия
- •Г. Набережные Челны
- •1.Цель и задачи дисциплины, её место в учебном процессе.
- •2. Содержание и структура дисциплины.
- •2.1 Содержание дисциплины (наименование и номера тем).
- •Раздел I. Линейная алгебра.
- •Тема 1. Определители.
- •Тема 2. Матрицы.
- •Тема 3. Системы линейных уравнений.
- •Тема 4. Системы векторов. N-мерное векторное пространство. Евклидово пространство.
- •Раздел III. Аналитическая геометрия
- •Тема 8. Прямые линии и плоскости.
- •Тема 9. Кривые и поверхности второго порядка.
- •Тема 10. Системы линейных неравенств. Линейные задачи оптимизации.
- •3. Рекомендуемая литература. Основная литература:
- •Дополнительная литература:
- •4. Методические указания по изучению дисциплины.
- •5. Материалы для контроля знаний студентов.
- •5.1. Задания для контрольной работы.
- •5.2. Вопросы к экзамену.
- •Раздел I. Линейная алгебра.
- •Раздел II. Векторная алгебра.
- •Раздел III. Аналитическая геометрия.
- •6. Приложения.
- •6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.
- •3А) Находим матрицу , обратную к , методом присоединённой матрицы, по формуле: , где:
- •6.2. Краткие теоретические сведения.
- •Тема 1. Определители.
- •Тема 2. Матрицы.
- •Тема 3. Системы линейных уравнений. Модель Леонтьева.
- •Тема 4. Системы векторов. N-мерное векторное пространство. Евклидово пространство.
- •Тема 5. Линейные операторы. Собственные числа и векторы.
- •Тема 6. Квадратичные формы.
- •Тема 7. Векторная алгебра.
- •Тема 8. Прямые линии и плоскости.
- •Тема 9. Кривые второго порядка.
- •Тема 10. Системы линейных неравенств. Линейные задачи оптимизации.
- •6.3 Образец оформления обложки с контрольной работой. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение
- •«Камская государственная инженерно-экономическая академия»
- •Набережные Челны
- •6.4. Таблица номеров выполняемых заданий.
Тема 4. Системы векторов. N-мерное векторное пространство. Евклидово пространство.
Арифметическим вектором называют упорядоченную совокупность из чисел: и обозначают . Числа называют компонентами вектора , число компонент называют его размерностью.
Векторы и называют равными, если они одинаковой размерности и их соответствующие компоненты равны: , .
Суммой векторов и одной размерности, называют вектор той же размерности, для которого: , .
Произведением вектора на число называют вектор той же размерности, для которого: , .
Линейной комбинацией векторов и одной размерности, называют вектор той же размерности ( и - произвольные числа), для которого: , .
Множество всех -мерных векторов, в котором введены операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие определённым требованиям (аксиомам) называют векторным пространством и обозначают .
Систему векторов называют линейно зависимой, если найдутся числа , одновременно, такие, что (где - нулевой вектор), в противном случае, систему называют линейно независимой.
Базисом системы векторов называют упорядоченную систему векторов , удовлетворяющую условиям:
1) , ; 2) система линейно независима; 3) для любого вектора найдутся числа такие, что . Коэффициенты , однозначно определяемые вектором , называют координатами вектора в базисе , а формулу называют разложением вектора по базису и пишут: .
В пространстве базисом является каждая упорядоченная система из линейно независимых векторов: . Формулу называют разложением вектора по базису , коэффициенты - координатами вектора в базисе и пишут .
Всякая упорядоченная система из векторов образует базис , если определитель, столбцами которого являются компоненты векторов , не равен нулю.
Пространство , в котором введено скалярное произведение векторов, удовлетворяющее определённым требованиям (аксиомам), называют евклидовым. Скалярным произведением двух векторов и называют число: .
Тема 5. Линейные операторы. Собственные числа и векторы.
Оператором называется закон (правило), по которому каждому вектору ставится в соответствие единственный вектор , и пишут или В дальнейшем, рассматривается случай (преобразование пространства ). Оператор называется линейным, если для любых векторов и действительных чисел выполнено условие: .
Если - базис пространства , то матрицей линейного оператора в базисе называется квадратная матрица порядка , столбцами которой являются столбцы координат векторов . Между линейными операторами, действующими в и квадратными матрицами порядка , существует взаимно однозначное соответствие, что позволяет оператор представить в матричном виде , где - матрицы-столбцы координат векторов , - матрица оператора в базисе .
Для линейных операторов, действующих в вводятся следующие операции: 1) сложение операторов: ; 2) умножение операторов на число: ; 3) умножение операторов: .
Обратным к оператору называется оператор такой, что , где - единичный (тождественный) оператор, реализующий отображение . Обратный оператор существует только для невырожденных операторов (операторов, матрица которых является невырожденной). Все, рассмотренные выше, действия над линейными операторами выполняют, выполняя аналогичные действия над их матрицами.
Пусть число и вектор , , таковы, что выполняются равенства: или . Тогда число называется собственным числом линейного оператора (или матрицы ), а вектор - собственным вектором этого оператора (или матрицы), соответствующим собственному числу . Равенство может быть записано в виде , где - единичная матрица порядка , - матрица-столбец координат собственного вектора , соответствующего собственному числу , - нулевая матрица-столбец.
Характеристическим уравнением оператора (или матрицы ) называется уравнение: .
Множество собственных чисел оператора (или матрицы) совпадает с множеством корней его характеристического уравнения: , а множество собственных векторов, отвечающих собственному числу , совпадает с множеством ненулевых решений матричного уравнения: .