5.2. Вопросы к экзамену.
Раздел I. Линейная алгебра.
Понятие матрицы. Частные виды матриц (квадратная, треугольная, диагональная, нулевая, единичная). Элементарные преобразования матриц. Понятие эквивалентности и равенства матриц.
Действия над матрицами (сложение, вычитание, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу) и их свойства. Линейная комбинация матриц.
Определители 2-ого и 3-егопорядка, их вычисление. Основные свойства определителей.
Понятие определителя n-ого порядка. Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца.
Понятие системы линейных уравнений (СЛУ). Частные виды СЛУ (квадратная, однородная, неоднородная). Матрица, расширенная матрица, определитель СЛУ.
Решение, множество решений, совместность, несовместность, определённость, неопределённость, эквивалентность СЛУ. Элементарные преобразования СЛУ, их основное свойство.
Теорема Крамера (о разрешимости СЛУ порядка
).
Формулы Крамера для решения СЛУ, условия
их применимости.Метод Гаусса решения СЛУ, условия его применимости. Условия несовместности, определённости и неопределённости СЛУ по методу Гаусса.
Преобразования СЛУ, выполняемые при выполнении прямого и обратного ходов метода Гаусса. Базисные и свободные переменные. Нахождение общего решения СЛУ. Частные решения СЛУ.
Понятие обратной матрицы. Вырожденные и невырожденные матрицы. Теорема о существовании обратной матрицы. Основные способы нахождения обратной матрицы.
Матричные уравнения и их решение. Матричная форма записи СЛУ. Матричный способ (метод обратной матрицы) решения СЛУ и условия его применимости.
Однородные СЛУ, условия существования их ненулевых решений. Свойства частных решений однородных СЛУ.
Минор
-ого
порядка, базисный минор, ранг матрицы.
Вычисление ранга матрицы. Критерий
совместности СЛУ (теорема Кронеккера-Капелли).Понятие
-мерного
арифметического вектора. Равенство
векторов. Действия над векторами
(сложение, вычитание, умножение на
число). Линейная комбинация векторов.
Скалярное произведение арифметических векторов. Длина вектора и угол между векторами. Понятие ортогональности векторов.
Система векторов и её линейная комбинация. Понятие линейной зависимости и независимости системы векторов. Теорема о необходимом и достаточном условиях линейной зависимости системы векторов.
Понятие векторного пространства , евклидова пространства
.
Базис, канонический базис, ранг
.
Разложение вектора в
по векторам его базиса, координаты
вектора. Теорема о единственности
разложения вектора в данном базисе.
Понятие оператора, линейного оператора. Матрица линейного оператора. Сумма (разность) операторов, произведение оператора на число, произведение оператора на оператор, обратный оператор.
Понятие собственного числа и собственного вектора оператора. Характеристическое уравнение. Нахождение собственных чисел и векторов оператора.
Понятие квадратичной формы. Матрица квадратичной формы. Вырожденная, невырожденная, каноническая квадратичная форма. Закон инерции квадратичных форм.
Понятие знакоопределённости квадратичной формы. Главные миноры. Критерии знакоопределённости квадратичной формы.