Тема 8. Прямые линии и плоскости.

Нормальным вектором прямой , называется всякий ненулевой вектор перпендикулярный данной прямой. Направляющим вектором прямой , называется всякий ненулевой вектор параллельный данной прямой.

Прямая на плоскости в системе координат может быть задана уравнением одного из следующих видов:

1) - общее уравнение прямой, где - нормальный вектор прямой;

2) - уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно данному вектору ;

3) - уравнение прямой, проходящей через точку параллельно данному вектору (каноническое уравнение);

4) - уравнение прямой, проходящей через две данные точки , ;

5) - уравнения прямой с угловым коэффициентом , где - точка через которую прямая проходит; ( ) – угол, который прямая составляет с осью ; - длина отрезка (со знаком ), отсекаемого прямой на оси (знак « », если отрезок отсекается на положительной части оси и « », если на отрицательной).

6) - уравнение прямой в отрезках, где и - длины отрезков (со знаком ), отсекаемых прямой на координатных осях и (знак « », если отрезок отсекается на положительной части оси и « », если на отрицательной).

Расстояние от точки до прямой , заданной общим уравнением на плоскости, находится по формуле:

.

Угол , ( ) между прямыми и , заданными общими уравнениями или уравнениями с угловым коэффициентом, находится по одной из следующих формул:

; .

, если или .

,если или

Координаты точки пересечения прямых и находятся как решение системы линейных уравнений: или .

Нормальным вектором плоскости , называется всякий ненулевой вектор перпендикулярный данной плоскости.

Плоскость в системе координат может быть задана уравнением одного из следующих видов:

1) - общее уравнение плоскости, где - нормальный вектор плоскости;

2) - уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно данному вектору ;

3) - уравнение плоскости, проходящей через три точки , и ;

4) - уравнение плоскости в отрезках, где , и - дины отрезков (со знаком ), отсекаемых плоскостью на координатных осях , и (знак « », если отрезок отсекается на положительной части оси и « », если на отрицательной).

Расстояние от точки до плоскости , заданной общим уравнением , находится по формуле:

.

Угол , ( ) между плоскостями и , заданными общими уравнениями, находится по формуле:

.

, если

, если .

Тема 9. Кривые второго порядка.

Алгебраической кривой второго порядка в системе координат называется кривая , общее уравнение которой имеет вид:

,

где числа - не равны нулю одновременно. Существует следующая классификация кривых второго порядка: 1) если , то общее уравнение определяет кривую эллиптического типа (окружность (при ), эллипс (при ), пустое множество, точку); 2) если , то - кривую гиперболического типа (гиперболу, пару пересекающихся прямых); 3) если , то - кривую параболического типа (параболу, пустое множество, прямую, пару параллельных прямых) . Окружность, эллипс, гипербола и парабола называются невырожденными кривыми второго порядка.

Общее уравнение , где , определяющее невырожденную кривую (окружность, эллипс, гиперболу, параболу), всегда (методом выделения полных квадратов) можно привести к уравнению одного из следующих видов:

1а) - уравнение окружности с центром в точке и радиусом (рис. 5).

1б) - уравнение эллипса с центром в точке и осями симметрии, параллельными координатным осям. Числа и - называются полуосями эллипса; прямоугольник со сторонами , параллельными осям симметрии и центром в точке - основным прямоугольником эллипса; точки пересечения основного прямоугольника с осями симметрии - вершинами эллипса.

Для построения эллипса в системе координат :1) отмечаем центр эллипса; 2) проводим через центр пунктирной линией оси симметрии эллипса; 3) строим пунктиром основной прямоугольник эллипса с центром и сторонами , параллельными осям симметрии; 4) изображаем сплошной линией эллипс, вписывая его в основной прямоугольник так, чтобы эллипс касался его сторон только в вершинах эллипса (рис.6) .

Аналогично строится и окружность, основной прямоугольник которой имеет стороны (рис. 5).

Рис.5 Рис 6

2) - уравнения гипербол (называемых сопряжёнными) с центром в точке и осями симметрии, параллельными координатным осям. Числа и - называются полуосями гипербол; прямоугольник со сторонами , параллельными осям симметрии и центром в точке - основным прямоугольником гипербол; точки пересечения основного прямоугольника с осями симметрии - вершинами гипербол; прямые , проходящие через противоположные вершины основного прямоугольника – асимптотами гипербол.

Для построения гиперболы в системе координат : 1) отмечаем центр гиперболы ; 2) проводим через центр пунктирной линией оси симметрии гиперболы; 3) строим пунктиром основной прямоугольник гиперболы с центром и сторонами и параллельными осям симметрии; 4) проводим через противоположные вершины основного прямоугольника пунктирной линией прямые, являющиеся асимптотами гиперболы, к которым неограниченно близко, при бесконечном удалении от начала координат, приближаются ветви гиперболы, не пересекая их; 5) изображаем сплошной линией ветви гиперболы (рис. 7) или гиперболы (рис. 8).

Рис.7 Рис.8

3а) - уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной координатной оси (рис. 9).

3б) - уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной координатной оси (рис. 10).

Для построения параболы в системе координат : 1) отмечаем вершину параболы ; 2) проводим через вершину пунктирной линией ось симметрии параболы; 3) изображаем сплошной линией параболу, направляя её ветвь, с учётом знака параметра параболы : при - в положительную сторону координатной оси, параллельной оси симметрии параболы (рис. 9а и 10а); при - в отрицательную сторону координатной оси (рис.9б и 10б) .

Рис. 9а Рис. 9б

Рис. 10а Рис. 10б