Тема 10. Системы линейных неравенств. Линейные задачи оптимизации.

Линейным неравенством называют неравенство вида: , где - некоторые числа, - координаты точки пространства . Совокупность всех точек , координаты которых удовлетворяют неравенству, называют областью решений данного неравенства.

Для пространства линейное неравенство имеет вид . Его областью решений является одна из полуплоскостей, на которые граничная прямая делит плоскость . Для того, чтобы установить какая из полуплоскостей удовлетворяет данному неравенству выбирают «пробную» точку и проверяют, удовлетворяет ли она ограничению-неравенству. Если удовлетворяет, то неравенство выполняется в полуплоскости, содержащей «пробную» точку, в противном случае берётся другая полуплоскость. В качестве «пробной» точки выбирают любую точку, не принадлежащую граничной прямой. Полуплоскость, в которой неравенство выполняется, отмечают стрелками, направленными внутрь данной полуплоскости.

Системой линейных неравенств называют систему неравенств вида:

,

где - коэффициенты системы, - свободные члены системы. Совокупность всех точек , координаты которых удовлетворяют каждому из неравенств, называют областью решений системы неравенств.

Для пространства система линейных неравенств имеет вид

.

Её областью решений является пересечение полуплоскостей, ограниченных прямыми, уравнения которых получают из неравенств заменой в них знаков неравенств на знаки равенств

Линейное программирование – это раздел математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных (наибольших и наименьших) значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Задачи линейного программирования (ЗЛП) являются задачами оптимизации и широко применяются для решения экономических задач.

Существует несколько форм записи задачи линейного программирования.

Общей задачей линейного программирования называют задачу:

Симметричной задачей линейного программирования называют задачу:

или

Канонической задачей линейного программирования называют задачу:

Функция называется целевой функцией; величины называются переменными задачи; система уравнений и неравенств, которым удовлетворяют переменные задачи называется системой ограничений; любой -мерный вектор удовлетворяющий системе ограничений называется допустимым решением (планом) задачи линейного программирования; множество всех допустимых решений называется областью допустимых решений; допустимое решение ЗЛП, при котором целевая функция достигает экстремума называется оптимальным решением (оптимальным планом) задачи линейного программирования.

Все формы записи ЗЛП эквивалентны. ЗЛП с двумя переменными может быть решена графическим методом, который основан на возможности графического изображения области допустимых решений задачи и нахождения среди них оптимального решения. Область допустимых решений ЗЛП строится как пересечение областей решений каждого из ограничений, входящих в систему ограничений задачи. Для нахождения среди допустимых решений оптимального решения используют линии уровня целевой функции. Линией уровня целевой функции называется прямая , на которой целевая функция принимает постоянное значение . Все линии уровня параллельны между собой. Их нормаль показывает направление наибольшего возрастания значений целевой функции, а вектор ( ) – направление наибольшего убывания.

Если построить на одном рисунке область допустимых решений, вектор ( ) и одну из линий уровня, например , то задача линейного программирования сводится к определению в области допустимых решений точки в направлении вектора ( ), через которую проходит линия уровня ( ), соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции . В этом и состоит графический метод решения ЗЛП.

Примером экономической задачи, сводящейся к задаче линейного программирования, является задача оптимального использования ресурсов.

При производстве видов продукции используется видов ресурсов. Известны: - запасов ресурсов; ( ) - расход -ого вида ресурса на производство одной единицы -ого вида продукции; - прибыль, получаемая от реализации одной единицы -ого вида продукции. Требуется составить план выпуска продукции , где - объём выпуска -ой продукции, который обеспечивает максимальную прибыль . Математическая модель такой задачи имеет вид:

и является задачей линейного программирования.