8. Використання степеневих рядів для наближених обчислень Приклад 21
Користуючись
розкладом підінтегральної функції в
степеневий ряд, обчислити вказаний
визначений інтеграл з точністю до 0,001:
.
Розв’язання
Знайдемо розклад підінтегральної функції в степеневий ряд:
,
тоді
Оскільки межі інтегрування належать інтервалу збіжності цього ряду, наближене обчислення інтегралу можна здійснити з наперед заданою точністю.
Інтегруючи
цей ряд почленно, маємо:
Отриманий
числовий ряд є рядом Лейбніца. Похибка,
отримана при відкиданні всіх членів
ряду, починаючи з третього, за абсолютною
величиною буде менша від третього члена:
.
Обчислюючи
з точністю до 0,001, маємо:
.
Приклади 22-23
Знайти розклад у степеневий ряд по степенях х розв’язок диференціального рівняння.
22.
Розв’язання
Розв’язок
будемо шукати у вигляді ряду Тейлора:
Оскільки
в нашій задачі
,
отримаємо розв’язок у вигляді:
.
Знайдемо
коефіцієнти степеневого ряду. Підставляючи
в диференціальне рівняння початкові
умови, отримуємо, що
.
Продиференціювавши рівняння, знаходимо:
Таким чином:
Використавши
перетворення та розклад у степеневий
ряд функції
,
маємо:
.
23.
.
Розв’язання
Розв’язок
диференціального рівняння матиме
вигляд:
Знаходимо коефіцієнти степеневого ряду:
,
,
;
.
Таким чином,
Ііі. Завдання для самостійної роботи
Довести збіжність ряду за означенням і знайти його суму:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Дослідити на збіжність ряди:
а)
; б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
є)
;
ж)
;
з)
.
За допомогою інтегральної ознаки Коші дослідити на збіжність ряди:
а)
;
б)
;
в)
.
Дослідити на умовну та абсолютну збіжність ряди:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
є)
;
ж)
;
з)
.
Знайти суму ряду
з похибкою до
.Скільки перших членів ряду
потрібно взяти, щоб їх сума відрізнялась
від суми ряду на величину, меншу, ніж
.
Знайти область збіжності функціонального ряду.
Обчислити визначений інтеграл з точністю до 0,001, використавши розклад підінтегральної функції в ряд.
Знайти розклад в степеневий ряд розв’язок диференціального рівняння:
IV. Завдання для контрольної роботи Завдання 1
Дослідити збіжність ряду, скориставшись означенням, та знайти його суму, якщо він збігається.
Варіанти завдань:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7.
;
8.
;
9.
;
10.
;
11.
;
12.
;
13.
;
14.
;
15.
;
16.
;
17.
;
18.
;
19.
;
20.
;
21.
;
22.
;
23.
;
24.
;
25.
;
26.
;
27.
;
28.
;
29.
;
30.
;
31.
32.
33.
;
34.
