Задача 4

1. Система 4-х лінійних алгебраїчних рівнянь з чотирма невідомими в символічному вигляді:

2. Система 4-х лінійних алгебраїчних рівнянь з чотирма невідомими має розширену матрицю:

.

3. Метод Жордана-Гауса розв‘язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь полягає в перетворенні розширеної матриці системи за допомогою таких жеж перетворень, що і в методі Гауса, к вигляду:

.

4. Розширеній матриці, що перетворена, відповідає система:

В цьому разі система має єдиний розв‘язок, який і знайдено.

5. Система лінійних алгебраїчних, що має єдиний розв’язок називається сумісною і визначеною.

6. Якщо при перетвореннях розширеної матриці один, або декілька рядків містять тільки нульові елементи, ці рядки викреслюються з матриці.

Наприклад, розширена матриця після перетворень може мати такий вигляд:

.

7. Розширеній матриці, що отримана, відповідає система:

8. В цьому випадку система рівнянь має безліч розв‘язків, які знаходяться з наступних рівностей:

9. Система лінійних алгебраїчних рівнянь, що має безліч розв’язків називається сумісною невизначеною.

10. Змінна в отриманому рішенні може приймати будь-які числові значення і називається вільною змінною. Змінні і , які виражаються через вільну змінну , називаються базисними. Знайдене рішення є загальним розв‘язком системи.

11. Якщо вільній змінній присвоїти довільне числове значення і обчислити значення базисних змінних і , то отримане рішення буде частинним розв‘язком системи. Наприклад при , отримаємо:

12. Якщо при перетвореннях розширеної матриці один, або декілька рядків містять всі нульові елементи, крім останнього, то система не має розв‘язків.

Наприклад, розширена матриця після перетворень може мати такий вигляд:

13. Розширеній матриці, що отримана, відповідає система

Останнє рівняння цієї системи є протиріччям, тому система не має розв‘язків.

14. Систему лінійних алгебраїчних рівнянь, що не має розв‘язків, називають несумісною.

Задача 5

1. Вектором називається напрямлений відрізок. Вектор, що має початок в точці А , а кінець в точці В, позначається Вектори також позначаються маленькими латинськими літерами, наприклад .

2. Координати вектора з початком в точці і кінцем в точці :

3. Два вектора є рівними, якщо дорівнюють їх відповідні координати, наприклад, якщо , а , то

4. Вектор, що отримано паралельним переносом вектора у просторі, є рівним вектору .

5. Модуль вектора дорівнює арифметичному кореню з суми квадратів координат вектора:

.

6. Сума векторів і – це вектор, координати якого дорівнюють сумі відповідних координат векторів доданків:

.

7. Добуток вектора на число – це вектор, координати якого дорівнюють координатам вектора , помноженим на це число:

8. Орт вектора - це одиничний вектор , що є однаково спрямованим з вектором Координати орта дорівнюють:

.

9. Скалярний добуток двух векторів і – це число, яке дорівнює сумі добутків однойменних координат векторів :

.

10. Косинус кута між векторами і обчислюється за формулою: .

11. Векторний добуток двух векторів – це вектор, який є перпендикулярним до векторів і , утворює з ними праву трійку векторів, модуль якого дорівнює

.

12. Векторний добуток векторів і дорівнює:

,

де – вектора Декартового базису.

13. Площа трикутника, що побудовано на векторах і , дорівнює

.

14. Мішаний добуток 3-х векторів , і – це число, яке дорівнює : .

15. Модуль числа, що є мішаним добутком 3-х векторів , і , дорівнює об’єму паралелепіпеда, що побудовано на цих векторах:

16. Об‘єм піраміди, що побудовано на векторах , і , дорівнює одній шостій модуля мішаного добутку векторів , і .

.

17. Вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій, або паралельних прямих.

Ознака колінеарності векторів і :

18. Вектори називаються перпендикулярними, якщо вони лежать на перпендикулярних прямих.

Ознака перпендикулярності векторів і :

.

19. Три вектори називаються компланарними, якщо вони лежать в одній площині, або в паралельних площинах. Ознака компланарності векторів , і :