Довідкові матеріали Задача 1

1. Обчислення визначника 2-го порядку:

;

2. Обчислення визначника 3-го порядку:

;

3. Мнемонічне правило обчислення визначника 3-го порядку:

4. Визначник 4-го порядку в символічному вигляді

.

5. Мінор елемента визначника 4-го порядку – це визначник 3-го порядку, що отримано вилученням з визначнику рядка та стовпчика, на перетині яких міститься елемент , наприклад, мінор елемента дорівнює

.

6. Алгебраїчне доповнення елемента визначника 4-го порядку дорівнює . Наприклад, алгебраїчне доповнення елемента визначника 4-го порядку, дорівнює

.

7. Властивість визначників: якщо до якого-небудь стовпчика, або до якого-небудь рядка визначника додати інший стовпчик, або інший рядок, помножений на ненульове число, то значення визначника не зміниться.

Наприклад, якщо в визначнику 4-го порядку до першого стовпчика додати другий стовпчик, помножений на число , то визначник не зміниться:

.

└─┘

8. Властивість визначників: якщо який-небудь стовпчик, або який-небудь рядок визначника помножити на число, то значення визначника теж помножиться на це число. Наприклад, для визначника 3-го порядку:

.

9. Обчислення визначника 4-го порядку розвиненням за і-им рядком:

,

Наприклад, обчислення визначника 4-го порядку розвиненням за 1-ою строчкою:

10. Обчислення визначника 4-го порядку розвиненням за j-им стовпчиком:

11. 

Наприклад, обчислення визначника 4-го порядку розвиненням за 1-им стовпчиком:

Задача 2

1. Матриця – це множина чисел, що подана у вигляді таблиці. Матриці позначаються великими латинськими літерами. Числа, що складають матрицю, називаються її елементами. Яко элементи матриці містяться в рядках і стовпцях, то розмір матриці вказується у вигляді добутку кількості рядків на кількість стовпчиків: .

2. Елементи матриці позначаються маленькими латинськими літерами з двома індексами , де і – номер рядка, j – номер стовпчика, на перетині яких міститься елемент .

Наприклад, матриця А розміру в символічному вигляді:

3. Дві матриці однакових розмірів називаються рівними, якщо елементи цих матриць з одними і тими ж індексами дорівнюють одне одному.

Наприклад, матриця розміру дорівнює матриці , якщо виконуються рівності :

, або

4. Транспонування матриці – це заміна рядків стовпчиками, а стовпчиків рядками з тими ж самими номерами. Якщо транспонувати матрицю А розміру , то отримаємо матрицю , розмір якої .

Наприклад, при транспонуванні матриці А розміру отримаємо матрицю , розмір якої .:

.

5. Добуток матриці на число – це матриця, кожний елемент якої дорівнює відповідному елементу наданої матриці, помноженому на теж саме число.

Наприклад: якщо

то

6. Додавати можна тільки матриці однакового розміру. Сума двох матриць – це матриця, кожний елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів матриць доданків. Наприклад:

6. Різниця матриць – це сума першої матриці та другої, помноженої на число . Наприклад:

7. Множити можна тільки матриці, у яких кількість стовпчиків першого множника дорівнює кількості рядків другого множника. Якщо помножити матрицю розміру на матрицю розміру , то в результаті отримаємо матрицю розміру .

8. Добуток двох матриць – це матриця, кожний елемент якої дорівнює сумі добутків елементів того рядка першої матриці на відповідні елементи того стовпчика другої матриці, на перетині яких міститься елемент матриці добутку, що відшукується. Наприклад:

де

9. Квадратна матриця – це матриця, що має однакову кількість рядків і стовпчиків.

10. Одинична матриця – це квадратна матриця, на головній діагоналі якої стоять одиниці, а всі решта елементи дорівнюють нулю:

.

11. Матриця , обернена до квадратної матриці С, це матриця того ж розміру, що і матриця С, для якої виконується умова:

,

де Е – одинична матриця того ж розміру, що і матриця С.

12. Для квадратної матриці С існує обернена матриця , якщо визначник матриці С не дорівнює нулю.

13. Якщо , то обернена матриця обчислюється за формулою:

,

де - це матриця, що складена з алгебраїчних доповнень до елементів транспонованої матриці .

14. Алгоритм знаходження оберненої матриці для квадратної матриці С розміру :

а) знайти визначник матриці С за формулою:

;

б) переконатися , що ;

в) знайти матрицю . Для цього в матриці С замінити рядки стовпчиками з тими ж самими номерами: .

г) знайти алгебраїчні доповнення до елементів матриці :

; ;

; ;

д) скласти матрицю , поставивши кожне алгебраїчне доповнення на місце того елемента матриці , до якого воно обчислювалося:

;

е) обчислити матрицю обернену матрицю за формулою

.