Среднее квадратическое отклонение

_= =

Вероятность попадания в интервал

P

Пример 5.8. Случайная величина распределена по нормальному закону с плотностью вероятности

f(x)= .

Найти её математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, вероятность попадания в интервал [-2;-1]. Построить кривую плотности вероятности этой случайной величины.

Решение.

1. По виду формулы плотности вероятности определяем, что случайная величина распределена по нормальному закону, для которого плотность вероятности f(x) = . Приведем заданную функцию к стандартному виду:

f(x)= = .

Отсюда следует, что m = -1.5; σ = 0.5. Известно, что параметр m – математическое ожидание M[], а σ - среднее квадратическое отклонение σ _. Следовательно, M[] = -1.5, σ _=0.5, D [] = =0.25.

2. Найдем вероятность попадания заданной случайной величины в интервал [-2,-1]. По свойствам функции распределения вероятность попадания случайной величины в интервал

,

где F(x) – функция распределения случайной величины. Для нормально распределенной случайной величины функция распределения F(x) может быть выражена через её нормированную функцию Ф(х) формулой:

F(x)= Ф . (5.5)

Функция Ф(х) табулирована (см. табл. В Приложения).

Таким образом,

Р . (5.6)

Для решаемой задачи: =0,5 т.е.

Учитывая, что Ф(-х)=1- Ф(х), и найдя в табл.В Приложения Ф(1)=0.8413, получим

Р( -1)=2Ф(1)-1=0,6826.

3. Построим кривую плотности вероятности. Для этого на графике построим сначала кривую нормированной плотности вероятности (на рис. 5.6 штриховая линия 1), т.е. . Затем сожмем её по оси ординат и растянем по оси абсцисс в σ раз (т.е. максимум увеличится в два раза). Получим пунктирную линию 2. И, наконец, сдвинем по оси абсцисс на величину m влево, т.е. в данном случае максимум графика будет в точке х=-1,5. Окончательный результат на рисунке изображен сплошной линией.

Рис. 5.6.

Пример 5.9. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону,

если P{X>60}=0,98 и P{X<90}=0,84.

Решение. Для определения искомых числовых характеристик следует найти параметры распределения предлагаемой случайной величины, так как для нормально распределенной случайной величины математическое ожидание совпадает с параметром m, а среднее квадратическое отклонение с параметром σ. Для этого воспользуемся формулой, выражающей вероятность попадания случайной величины в данные в условиях интервалы через функцию распределения. Преобразуем задания в условии задачи равенства:

из P{x>60}= 0,98 получим р{х60} = 1- р(х>60) = 1-0,98. Отсюда

P{x60}=0,02.

По формуле (5.5) преобразуем левую часть , получим

F(60)= Ф( )= 0,02.

Теперь по таблицам Ф(х) (табл. В Приложения) необходимо найти значение х, при котором Ф(х) равняется 0,02. Такого значения в таблице нет, это означает, что искомое значение – отрицательное. Используя формулу

Ф(-х)= 1-Ф(х), (5.7)

можно записать

Ф( )= 1-Ф( )= 0,02,

т.е. Ф( )= 0,98.

По табл.В Приложения находим, что Ф(х)= 0,98 соответствует значению х=2,056, т.е. = 2,056.

Таким образом, m-2.056 =60.

Из второго условия следует P{X<90}=F(90)=Ф( = 0,84 ; по табл. В Приложения находим аргумент для значения функции 0,84 и получаем =0,995 , отсюда m+0,995 σ =90. Таким образом получаем систему уравнений относительно параметров и σ:

Находим из системы искомые параметры: 3,051 σ =30, σ @9,83, m=60+2,05×9,83 @ 80,15.

Итак,  =80,15, а σ =9,83.