Понятие интервальной оценки
Точечная оценка
является случайной величиной и для
возможных реализаций выборки принимает
значения лишь приближенно равные
истинному значению параметра
.
Чем меньше разность
,
тем точнее оценка. Таким образом,
положительное число
,
для которого
,
характеризует точность оценки и
называется ошибкой оценки (или
предельной ошибкой).
Доверительной вероятностью (или надежностью) называется вероятность β, с которой осуществляется неравенство , т. е.
.
(3.20)
Заменив неравенство
равносильным ему двойным неравенством
,
или
,
получим
.
(3.21)
Интервал
,
накрывающий с вероятностью β,
,
неизвестный параметр
,
называется доверительным интервалом
(или интервальной оценкой), соответствующим
доверительной вероятности β.
Случайной величиной
является не только оценка
,
но и ошибка
:
ее значение зависит от вероятности β
и, как правило, от выборки. Поэтому
доверительный интервал случаен и
выражение (3.21) следует читать так:
“Интервал
накроет параметр
с вероятностью β
”, а не так: “Параметр
попадет в интервал
с вероятностью β
”.
Смысл доверительного интервала состоит в том, что при многократном повторении выборки объема в относительной доле случаев, равной β, доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности β, накрывает истинное значение оцениваемого параметра. Таким образом, доверительная вероятность β характеризует надежность доверительного оценивания: чем больше β, тем вероятнее, что реализация доверительного интервала содержит неизвестный параметр.
Следует, однако, иметь в виду, что с ростом доверительной вероятности β в среднем растет длина доверительного интервала, то есть уменьшается точность доверительного оценивания. Выбор доверительной вероятности определяется конкретными условиями; обычно используются значения β, равные 0,90; 0,95; 0,99.
Вероятность
(3.22)
называется уровнем значимости и характеризует относительное число ошибочных заключений в общем числе заключений.
В формуле (3.21) границы доверительного интервала симметричны относительно точечной оценки. Однако не всегда удается построить интервал, обладающий таким свойством. Более общим является следующее определение.
Доверительным
интервалом (или интервальной оценкой)
параметра
с доверительной вероятностью β,
0< β <1,
называется интервал со случайными
границами
,
,
накрывающий с вероятностью β
неизвестный параметр
,
т. е.
.
(3.23)
Иногда вместо
двусторонних доверительных интервалов
рассматривают односторонние доверительные
интервалы, полагая
или
.
Построение интервальных оценок
Доверительный
интервал задается своими концами
и
.
Однако найти функции
и
из условия (3.23) невозможно, поскольку
закон распределения этих функций зависит
от закона распределения ξ
и, следовательно, зависит от неизвестного
параметра
.
Используют следующий прием, позволяющий
в ряде случаев построить доверительный
интервал. Подбирается такая функция
,
чтобы:
- ее закон распределения был известен и не зависел от неизвестного параметра ;
- функция была непрерывной и строго монотонной по .
Тогда для любого
β можно выбрать
два числа
и
так, чтобы выполнялось равенство
.
(3.24)
Отсюда находят и как квантили функции распределения . Границы искомого доверительного интервала выражают через найденные квантили и выборочные данные, используя для этого соотношения, связывающие новую и старую случайные величины.
Если плотность распределения случайной величины симметрична, то доверительный интервал симметричен относительно точечной оценки , и для нахождения границ доверительного интервала вместо условия (3.23) можно использовать соотношение (3.21).