Раздел 2. Случайные величины

В этом разделе содержится материал о случайных величинах: дискретных и непрерывных. Приводятся определения и описываются способы задания случайных величин с помощью ряда распределения и функции распределения. Способы определения плотности вероятности зависят от того, какое распределение имеет случайная величина. Рассматривается решение задач, в которых необходимо вычислить числовые характеристики случайных величин, а также написать выражение для плотности вероятности случайной величины, если она имеет биномиальное распределение, равномерное распределение или нормальное распределение.

Изучение материала раздела заканчивается ответами на вопросы для самопроверки и рассмотрением репетиционного теста №2, приведенного в Блоке контроля и освоения дисциплины. После того, как эта часть работы проделана, студент может приступить к выполнению задачи № 2 из Методических указаний по выполнению контрольной работы по вычислительной математике, основам теории вероятностей и элементам математической статистики [ 8 ].

2.1. Описание случайных величин

2.1.1. Определение и способы задания случайной величины Одним из основных понятий теории вероятности является понятие случайной величины. Рассмотрим некоторые примеры случайных величин:

1. число попаданий в цель при трех выстрелах.

Возможные результаты таковы: 0,1,2 или 3 раза попадания.

2. число вызовов, поступивших на телефонную станцию за сутки. Значениями может быть любое число от 1, 2, 3,….

Случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать различные значения, причем заранее неизвестно, какое именно, и известны вероятности, с которыми случайная величина принимает каждое конкретное значение.

Определение. Любое соотношение, устанавливающее связь между всеми возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется законом распределения случайной величины.

Чтобы задать случайную величину, надо указать ее закон распределения. Случайные величины принято обозначать греческими буквами , , , а их возможные значения – латинскими буквами с индексами x_i, y_i, z_i.

Пример 2.1. Обозначим буквой  число гербов, выпавших при подбрасывании монеты три раза. Это число зависит от случайных результатов подбрасывания и поэтому будет случайной величиной. В этом примере случайная величина  может принять четыре значения 0,1,2,3, но невозможно предсказать какое из них. Найдем вероятности этих значений. Пространство элементарных событий в этом примере состоит из восьми упорядоченных троек

={ω₁= ГГГ, ω₂= ГГЦ, ω₃= ГЦГ, ω₄= ЦГГ, ω₅= ГЦЦ, ω₆= ЦГЦ, ω₇= ЦЦГ, ω₈= ЦЦЦ},

где Г обозначает выпадение герба при одном подбрасывании, а Ц – выпадение цифры.

Обозначим через А_i событие, в котором при подбрасывании монеты появились i гербов ( i=0,1,2,3). Каждое событие А_i является составным событием и содержит все элементарные события ω_i , которые привели к появлению i гербов:

А_i={ }.

Следовательно,

A₀={ }={ЦЦЦ}, A₁={ }={ГЦЦ, ЦГЦ, ЦЦГ},

A₂={ }={ГГЦ, ГЦГ, ЦГГ}, A₃={ }={ЦЦЦ}.

Дополнительно предположим, что подбрасывают правильную монету. Тогда из независимости испытаний следует, что вероятность каждого элементарного события ω_i равна * * = . Из классического определения вероятности события A_i имеют вероятности, равные

p₀ =P(A₀)= P{ЦЦЦ}= , p₁=P(A₁)=P{ГЦЦ,ЦГЦ, ЦЦГ} = ,

p₂=P(A₂)=P{ГГЦ,ГЦГ,ЦГГ}= , p₃=P(A₃)=P{ЦЦЦ}= .

Отметим, что все события A_i несовместны и составляют пространство элементарных несовместных событий , т.е.

 = A₀+A₁+A₂+A₃.

Из аксиом вероятности следует равенство

р(  ) = р(A₀+A₁+A₂+A₃) = p(A₀)+ p(A₁)+ p(A₂)+ p(A₃)=1.

Составим таблицу из полученных возможных значений этой случайной величины и соответствующих вероятностей :

ξ	0	1	2	3

Пример 2.2. Производится один выстрел по плоской круглой мишени радиуса R. Учитываются только выстрелы, которые приводят к попаданию в мишень. В качестве случайной величины рассмотрим расстояние  от точки попадания до центра мишени. Тогда множество возможных значений случайной величины образует числовой интервал  R]. Предположим, что любая точка мишени может быть поражена с одинаковой вероятностью. Отсюда следует, что с одинаковой вероятностью случайная величина  принимает любое значение из интервала  R]. В этом случае вероятность того, что расстояние  не превзойдет числа x (0≤ x ≤R), можно найти из геометрического определения вероятности по формуле  (  x) x/R. Очевидно, что при x>R вероятность (  x)1, а при x<0 вероятность (  x)0.

Из приведенных примеров видно, что случайной величиной является функция f, которая каждому элементарному событию  ставит в соответствие число . Эти числа  называют возможными значениями случайной величины.

В зависимости от множества возможных значений случайной величины выделяют два типа случайных величин:

а) дискретная случайная величина – это величина, значения которой можно ( пересчитать ) перенумеровать;

б) непрерывная случайная величина – это такая величина, значения которой заполняют целиком некоторый промежуток числовой оси или всю числовую ось.

Определение. Функция распределения F(x) случайной величины  определяется равенством

F (x) =P(   x), (2.1)

для всех действительных чисел x.

В примере 2.2 функция распределения определяется формулой

.