1.1.4. Сумма и произведение событий
Определение. Суммой (объединением) событий A и B называется событие, которое наступает, когда происходит хотя бы одно из этих событий, и обозначается A+B. При сложении событий множества благоприятствующих исходов складываются (объединяются).
Например, для событий примера 1.6 суммой событий A и C будет событие A+C ={1 , 2 , 3 , 4 , 6}, а суммой событий A и B будет событие A+B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}=, т. е. достоверное событие.
Операцию сложения определяют и для бесконечной последовательности событий.
Определение.
Суммой (объединением)
последовательности событий A1,
A2, … An,..
называется событие, которое наступает,
когда происходит хотя бы одно из событий
последовательности и обозначается
.
Пусть событие A
состоит из благоприятствующих исходов
.
Тогда событие A по определению суммы можно представить в виде
.
Определение. Произведением событий A и B называется событие, которое происходит при одновременном наступлении этих событий и обозначается AB. При умножении событий множества благоприятствующих исходов умножаются (пересекаются).
Например, для событий примера 1.6 произведением событий A и C будет событие AC = {1 ,3}, а произведением событий A и B будет невозможное событие AB = .
Определение.
Произведением последовательности
событий A1,A2,…An,..
называется событие, которое происходит
при одновременном наступлении всех
событий последовательности и обозначается
.
Определение. Разность событий A и B происходит, когда событие A наступает, а событие B - не наступает, и обозначается A-B.
Используя определения действий над событиями, можно доказать следующие свойства
1) A+B=B+A 2) AB=BA 3) A+(B+C)=(A+B)+C
4) A(B+C)=AB+AC 5) A+=A 6) A=
7) A=A 8) A+A=A 9) AA=A
10) A+= 11) A=A 12) A+ =
13) A
=
14)
=A
15)
=
16)
=.
Первые семь свойств аналогичны свойствам алгебры, таким как перестановка, сочетание и распределение, при этом невозможное событие можно считать как 0, а достоверное событие – как 1. Остальные свойства не имеют аналогов в алгебре.
Для событий А и В справедливы формулы, называемые соотношениями двойственности:
.
Определение. Класс событий U образует алгебру событий, если
1) достоверное событие содержится в этом классе, т.е. U
2) для любых событий A U,B U из этого класса их сумма и произведение также принадлежат этому классу: AB U, A+B U,
3
)
если событие
A
из этого класса
A
U
, то и противоположное событие также
принадлежит этому классу:
А
U.
Пример 1.7. Подбрасывают две монеты различного достоинства. Пространство элементарных событий состоит из четырех элементов
= {ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ }.
Здесь Г означает, что монета выпала гербом вверх, а Ц – цифрой вверх.
Построим все подмножества пространства элементарных событий :
, ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ, { ГГ, ГЦ }, { ГГ, ЦГ}, {ГГ, ЦЦ}, { ГЦ, ЦГ }
{ ГЦ, ЦЦ }, { ЦГ, ЦЦ }, {ГГ, ГЦ, ЦГ}, {ГГ, ГЦ, ЦЦ }, {ГГ, ЦГ, ЦЦ },
{ГЦ, ЦГ, ЦЦ }, {ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ }=.
Нетрудно проверить, что все 16 событий образуют алгебру событий.
Для точного определения события в произвольном пространстве элементарных событий рассмотрим следующее определение.
Определение. Алгебра событий U образует -алгебру событий, если для бесконечной последовательности событий Ai из -алгебры событий их объединение и пересечение принадлежат -алгебре
U ,
U.
Если задано пространство элементарных событий и -алгебра событий U, то говорят, что задано измеримое пространство { , U }.
В случае произвольного пространства элементарных событий , событиями называют только такие подмножества пространства элементарных событий , которые образуют -алгебру событий U. Все остальные подмножества , не входящие в -алгебру событий U, событиями не являются.
Вопросы для самопроверки
При подбрасывании монеты выпала сторона с изображением герба (условно обозначим это событие буквой А). Какое событие будет являться противоположным событию А?
Подбрасываются две монеты, в результате чего видим изображение двух гербов. Что будет являться противоположным событием в этом случае?
Написать действие, соответствующее тому факту, что при подбрасывании двух монет на одной будет изображен герб (событие А), а на другой монете – цифра (событие В).