3. Вероятность произведения событий

Теорема умножения

Вероятность произведения событий A₁ A₂ A_n определяется формулой

p(A₁ A₂ A_n) = p(A₁) p(A₂  A₁))p(A_n  A₁A₂A_n-1). (1.8)

Для произведения двух событий отсюда следует, что

p(AB) = p(A B) p{B) = p(B A) p{A). (1.9)

Пример 1.18. В партии из 25 изделий 5 изделий бракованных. Последовательно наугад выбирают 3 изделия. Определить вероятность того, что все выбранные изделия бракованные.

Решение. Обозначим события:

A₁ = {первое изделие бракованное},

A₂ = {второе изделие бракованное},

A₃ = {третье изделие бракованное},

A = {все изделия бракованные}.

Событие А есть произведение трех событий A = A₁ A₂ A₃ .

Из теоремы умножения (1.6) получим

p(A) = р( A₁ A₂ A₃ ) =p(A₁) p(A₂  A₁))p(A₃  A₁A₂).

Классическое определение вероятности позволяет найти p(A₁) – это отношение числа бракованных изделий к общему количеству изделий:

p(A₁)= ;

p(A₂) – это отношение числа бракованных изделий, оставшихся после изъятия одного, к общему числу оставшихся изделий:

p(A₂  A₁))= ;

p(A₃ ) – это отношение числа бракованных изделий, оставшихся после изъятия двух бракованных, к общему числу оставшихся изделий:

p(A₃  A₁A₂)= .

Тогда вероятность события A будет равна

p(A) = = .

1.3.4. Формула полной вероятности и формула Байеса

Теорема. Пусть A - некоторое событие, и события H₁, H_2, , H_n , _, попарно несовместные, т.е. H_i H_j= , ij, образующие полную группу, и появление одного из них и только одного есть событие достоверное.

Допустим, что событие A может произойти вместе с одним из событий H_i Тогда имеет место формула полной вероятности

p(A) = p( A  H_i) (1.10)

и формула Байеса p(H_i  A)= . (1.11)

Замечание. События H_i называют гипотезами, вероятности p(H_i) - априорными вероятностями гипотез H_i, а вероятности p(H_iA) - апостериорными вероятностями гипотез H_i.

Пример 1.19. В первой урне находится 4 белых и 6 черных шаров, а во второй – 2 белых и 7 черных шаров. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают один шар. После этого из второй урны наудачу извлекают один шар.

1) Найти вероятность, что шар, извлеченный из второй урны, белый.

2) Известно, что из второй урны извлечен белый шар. Найти вероятность того, что из первой урны во вторую был переложен черный шар.

Решение. Обозначим события

H₁ = {из первой урны во вторую был переложен белый шар},

H₂ = {из первой урны во вторую был переложен черный шар},

A = {шар, извлеченный из второй урны, белый}.

а) По классическому определению вероятности находим вероятности гипотез H₁ и H₂ :

p(H₁) - вероятность того, что из всех находящихся в первой урне шаров во вторую был переложен белый шар - p(H₁) = 4 / 10 = 0,4,

p(H ₂) - - вероятность того, что из всех находящихся в первой урне шаров во вторую был переложен черный шар - p(H₂) = 6/ 10 = 0,6,

и условные вероятности:

p(A/H₁) – вероятность того, что из второй урны будет вынут белый шар, при условии, что в нее был переложен белый шар - p(A/H₁) = 3/10 = 0,3.

p(A/H₂) - вероятность того, что из второй урны будет вынут белый шар, при условии, что в нее был переложен черный шар - p(A/H₂) = 2/10 = 0,2.

Тогда по формуле полной вероятности находим вероятность искомого события A

p(A) = p(H₁) p(A/H₁)+p(A/H₂)p(H₂) = 0,40,3 +0,60,2 = 0,24.

б) Во второй части задачи требуется найти условную вероятность p(H₂/A). Для этого можно использовать формулу Байеса (1.11):

p(H₂/A) = .

Вопросы для самопроверки

1. Какие условия должны быть выполнены для проведения опытов по схеме Бернулли?

2. По какой формуле вычисляется условная вероятность?

3. Как вычисляется вероятность произведения:

а) для независимых событий?

б) для несовместных событий?

в) для любых других типов событий?

4. В чем смысл формулы полной вероятности?

В результате изучения материала раздела 1 студент может выполнить задание № 1 из методических указаний по выполнению контрольной работы по вычислительной математике, основам теории вероятностей и элементам математической статистики ( [ 8 ] ).