2.4 Лабораторна робота 3

Для стрижньової системи визначити зусилля і напруження в стрижнях, прийнявши площі всіх стрижнів однаковими і рівними та перевірити виконання умови міцності, якщо []=160 МПа.

Схему для вирішення завдання узяти з рис. 2.7, дані з таблиць 2.3. та 2.4.

Таблиця 2.3

Величина, м	Значення величини відповідно до першої цифри номера варіанта
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
a	0,8	0,5	1,0	1,2	0,5	0,4	0,2	0,5	0,8	0,6
b	0,2	0,2	0,4	0,6	0,6	0,8	0,4	0,6	0,6	0,4
c	0,6	0,4	0,8	0,8	0,3	0,6	0,8	0,8	0,4	0,8

Таблиця 2.4

Величина	Значення величини відповідно до другої цифри номера варіанта
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
P, кН	200	260	240	220	280	300	250	280	260	300

Рисунок 2.7

Рисунок 2.7, аркуш 2

22 21 24 23 26 25 27 29 30
	28

Рисунок 2.7, аркуш 3

Указівки до виконання лабораторної роботи 3

Поділяємо стрижень на кінцеві елементи. Нумеруємо елементи, що вийшли, і вузли (зручно брати як кінцеві елементи ділянки стрижня).

1. Обчислюємо матрицю жорсткості кожного з елементів /1/:

,

де F – площа перерізу на i-го елементу,

_i – довжина i-го елемента,

Е – модуль пружності.

2. Записуємо матрицю напрямних косинусів для кожного з елементів:

,

де  – кут нахилу кінцевого елемента до горизонтальної осі.

3. Формуємо матрицю жорсткості конструкції як ансамбль матриць жорсткості кінцевих елементів, з яких складається конструкція. Її порядок дорівнює кількості вузлів.

4. Записуємо систему рівнянь виду: ???

де K – матриця жорсткості конструкції в цілому;

– вектор кутів повороту всіх вузлів;

– вектор вузлових навантажень.

6 З вирішення системи рівнянь знаходяться вертикальні і горизонтальні переміщення вузлів.

7. Визначити величини внутрішніх зусиль N_i:

8 Перевірити виконання умови міцності:

Приклад виконання лабораторної роботи 3

На стрижньову систему (рис. 2.8) діє сила P=500 кH. Визначити зусилля і напруження в стрижнях, прийнявши площі всіх стрижнів однаковими і рівними F=30 см².

Рисунок 2.8

Розв’язок. Вводимо глобальну систему координат . Нумеруємо вузли і елементи.

Визначаємо матриці жорсткості стрижнів.

Елемент 1: його зв'язки 2–4, вісь йде від вузла 2 до вузла 4, отже, кут між осями х та дорівнює 0. Матриця напрямних косинусів для цього елемента запишеться так:

.

Обчислюємо матрицю жорсткості елемента:

.

Елемент 2: стрижень 2–3 (напрям осі від вузла 2 до 3):

.

.

Елемент 3: стрижень 2–1:

Матриця жорсткості кожного елемента має бути симетричною, а за головною діагоналлю повинні стояти додатні коефіцієнти.

Переходимо до формування матриці жорсткості конструкції. Оскільки вузлів 4, а кожен вузол у глобальній системі координат має два ступені вільності, то матриця жорсткості конструкції має розмірність 8х8.

При заповненні матриці жорсткості конструкції, необхідно враховувати, які вузли входять до елемента. Наприклад, елемент 1, до нього входять вузли 2 і 4, отже, необхідно коефіцієнти матриці жорсткості цього елемента заносити до стовпців і рядків 2 і 4.

До правого стовпця заносимо значення навантажень. Оскільки навантаження прикладене лише в другому вузлі, то тільки в цей вузол заносимо величини:

Навантаження узяті з мінусом, оскільки вони спрямовані проти додатного напрямку осей.

Тепер враховуємо граничні умови. Вузли 1, 3 і 4 закріплені, отже:

і .

Після урахування граничних умов отримаємо:

;

помноживши другий рядок на 3, маємо:

.

Склавши рядки, знайдемо:

Підставивши в друге рівняння значення, знайдемо:

Визначаємо зусилля в стрижнях:

Покажемо зусилля в стрижнях (якщо зусилля від’ємне , то показано до вузла, а додатне – від вузла) (рис. 2.9).

Перевірка:

Нев`язка 0,2%.

Нев`язка 0,1%, отже, зусилля знайдені вірно.

Визначимо напруження в стрижнях: