5.4 Лабораторна робота 10

Оцінити міцність втулки, показаної на рисунку 5.9, за IV теорією міцності, якщо: МПа, МПа, Дані для розрахунків обрати згідно з варіантом з таблиць 5.3 та 5.4.

Таблиця 5.3

Величина	Значення величини відповідно до першої цифри номера варіанта
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
q, кН/м	100	300	150	250	200	100	250	150	200	450
a, м	0,3	0,5	0,7	0,4	0,5	0,2	0,4	0,3	0,2	0,6
b, м	0,1	0,2	0,5	0,7	0,4	0,3	0,6	0,5	0,7	0,8
D0, м	1,5	1,3	1,4	2,0	2,4	2,8	3,0	1,5	1,4	2,0

Таблиця 5.4

Величина, м	Значення величини відповідно до другої цифри номера варіанта
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
d	0,5	0,6	0,9	0,8	0,7	1,0	0,5	0,4	0,4	1,2
D2	3,5	4,3	3,4	4,0	4,4	3,8	3,0	4,5	3,4	4,0

Error: Reference source not found	Error: Reference source not found
Error: Reference source not found	Error: Reference source not found
Error: Reference source not found	Error: Reference source not found
Error: Reference source not found	Error: Reference source not found
Error: Reference source not found	Error: Reference source not found

Рисунок 5.9

Error: Reference source not found	Error: Reference source not found
Error: Reference source not found	Error: Reference source not found
Error: Reference source not found	Error: Reference source not found
Error: Reference source not found	Error: Reference source not found
Error: Reference source not found	Error: Reference source not found

Рисунок 5.9, аркуш 2

Error: Reference source not found	Error: Reference source not found
Error: Reference source not found	Error: Reference source not found
Error: Reference source not found	Error: Reference source not found
Error: Reference source not found	Error: Reference source not found
Error: Reference source not found	Error: Reference source not found

Рисунок 5.9, аркуш 3

Указівки до виконання лабораторної роботи 10

1. Поділяємо стрижень на кінцеві елементи. Нумеруємо отримані елементи і вузли (зручно поділяти таким чином, щоб кінцеві елементи співпадали з ділянками стрижня).

2. Обчислюємо матрицю жорсткості кожного з елементів:

До виразу входить матриця, коефіцієнти якої залежать від та :

Це не дозволяє виносити з-під інтеграла матрицю . З метою спрощення ці коефіцієнти замінимо наближеними значеннями та , які відповідають середнім значенням:

,

Тепер матриця замінюється на , що дозволить отримати наближене значення коефіцієнтів матриці жорсткості елемента:

,

де

,

,

де .

Інші коефіцієнти можна отримати круговою підстановкою індексів

3. Формуємо матрицю жорсткості конструкції як ансамбль матриць жорсткості кінцевих елементів, з яких складається конструкція. Її порядок дорівнює кількості вузлів.

4 Записуємо систему рівнянь виду:

де К – матриця жорсткості конструкції в цілому;

– вектор переміщень (лінійних та кутових) всіх вузлів;

– вектор вузлових навантажень.

При формуванні вирішуючої системи рівнянь для всієї конструкції у вектор навантажень повинні записуватися значення сумарних навантажень, які дорівнюють:

,

де – номер вузла, у якому діє розподілене колом навантаження;

– коли навантаження діє в напрямку ;

– коли навантаження діє в напрямку ;

– радіус вузла .

5 З вирішення системи рівнянь знаходяться вертикальні та радіальні переміщення вузлів.

6 Визначаємо вектор напружень за формулою

.

7 Визначаємо головні нормальні напруження за формулою

.

8 Розраховуємо еквівалентні напруження за IV теорією міцності:

.

Приклад виконання лабораторної роботи 10

За допомогою МКЕ оцінити міцність втулки, показаної на рисунку 5.10, за IV теорією міцності, якщо МПа, МПа,

Рисунок 5.10 – Розрахункова схема втулки

Розв’язок. Як кінцеві елементи приймаємо тор з поперечним перерізом у вигляді трикутника.

Переріз втулки поділяємо на елементи (рис. 5.11), нумеруємо вузли і елементи.

Рисунок 5.11 – Поділ втулки на елементи

Обчислюємо матрицю жорсткості кінцевих елементів

1-й елемент. Його зв'язки 1 – 4 – 5:

Матриця для першого елемента дорівнює:

Матриця жорсткості першого елемента запишеться так:

Аналогічно обчислюються матриці жорсткості для останніх елементів. Після чого формується матриця жорсткості конструкції.

Тут слід звернути увагу на граничні умови і на вектори навантажень.

Для того, щоб втулка не переміщалася як єдине ціле у напрямку осі (із-за наближеності підрахунків сума сил уздовж осі не дорівнюватиме нулю), необхідно її в цьому напрямку в одній з точок закріпити, наприклад .

При формуванні вектора навантажень треба врахувати, що тиск, розподілений уздовж ліній 1–2–3 (рис. 5.12), необхідно прикласти у вузлах 1–2–3.

Тому

Розв’язавши систему рівнянь, знайдемо:

Підставивши матриці і вектор переміщень для першого елемента, знайдемо вектор напружень:

.

Тепер визначаємо головні нормальні напруження за формулою

.

=-1МПа , = -25МПа , = 64,4МПа.

Еквівалентні напруження за IV теорією міцності дорівнюють:

Умова міцності виконана.