4.2 Лабораторна робота 7

Для заданої балки, що перебуває в умовах складного згинання, визначити найбільші за модулем нормальні напруження в небезпечному перерізі. Переріз балки для розрахунків взяти у вигляді двотавру № 30, розташованого вертикально.

Вихідні дані вибрати із таблиць 4.1. та 4.2. і рисунка 4.5.

Таблиця 4.1

Величина, м	Значення величини відповідно до першої цифри номера варіанта
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
а	1,3	0,7	0,8	1,2	0,9	1,1	1,4	1,9	1,0	0,7
b	1,9	2,0	1,6	1,8	2,3	2,5	1,8	2,5	2,2	2,1
с	1,4	2,0	2,3	0,7	0,9	1,7	2,1	1,4	2,0	2,5

Таблиця 4.2

Величина	Значення величини відповідно до другої цифри номера варіанта
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
q, кН/м	34	24	32	36	30	40	28	20	26	32
Р, кН	10	8	12	14	10	10	12	8	12	6
М, кН∙м	25	24	22	20	18	16	10	18	12	10
Номер двотавра	20	30	27	22	24	22	24	20	27	30

Указівки до виконання лабораторної роботи 7

1. Поділяємо стрижень на кінцеві елементи. Нумеруємо отримані елементи і вузли (зручно ділити таким чином, щоб кінцеві елементи співпадали з ділянками стрижня, відповідно границі ділянок – з вузлами).

2. Обчислюємо матрицю жорсткості кожного з елементів:

	12EJx l3	0	6EJx l2	0	-12EJx l3	0	6EJx l2	0
	0	12EJy l3	0	6EJy l2	0	-12EJy l3	0	6EJx l2
	6EJx l2	0	4EJx l2	0	-6EJx l2	0	2EJx l	0
	0	6EJy l2	0	4EJy l	0	-6EJy l2	0	2EJy l
	-12EJx l3	0	-6EJx l2	0	12EJx l3	0	-6EJx l2	0
	0	-12EJy l3	0	-6EJy l2	0	12EJy l3	0	-6EJy l2
	6EJx l2	0	2EJx l	0	-6EJx l2	0	4EJx l2	0
	0	6EJy l2	0	2EJy l	0	-6EJy l2	0	4EJy l2

Error: Reference source not found	Error: Reference source not found
Error: Reference source not found	Error: Reference source not found
Error: Reference source not found	Error: Reference source not found
Error: Reference source not found	Error: Reference source not found
Error: Reference source not found	Error: Reference source not found

Рисунок 4.6

Error: Reference source not found	Error: Reference source not found
Error: Reference source not found	Error: Reference source not found
Error: Reference source not found	Error: Reference source not found
Error: Reference source not found	Error: Reference source not found
Error: Reference source not found	Error: Reference source not found

Рисунок 4.6, аркуш 2

Error: Reference source not found	Error: Reference source not found
Error: Reference source not found	Error: Reference source not found
Error: Reference source not found	Error: Reference source not found
Error: Reference source not found	Error: Reference source not found
Error: Reference source not found	Error: Reference source not found

Рисунок 4.6, аркуш 3

де J_хi, J_уi – моменти інерції перерізу i-го елемента,

_i – довжина i-го елемента,

Е – модуль пружності.

3. Формуємо матрицю жорсткості конструкції як ансамбль матриць жорсткості кінцевих елементів, з яких складається конструкція. Її порядок дорівнює кількості вузлів.

4 Записуємо систему рівнянь вигляду:

де К – матриця жорсткості конструкції в цілому;

– вектор переміщень (лінійних та кутових) всіх вузлів;

– вектор вузлових навантажень.

5 З розв’язання системи рівнянь знаходяться переміщення і кути повороту вузлів.

6 Визначити величини поперечних сил Р_хі, Р_уі та згинальних моментів M_хі,М_уі , аналогічно тому, як це зроблено у роботі 5.

Побудувавши графіки зміни поперечних сил і згинальних моментів уздовж стрижня, отримаємо епюри поперечних сил і згинальних моментів.

7 Аналізуються епюри згинальних моментів, і визначається найбільше навантажений (небезпечний) переріз балки. Якщо М_х та М_у мають найбільші значення в одному і тому ж перерізі, то саме цей переріз і є небезпечним. Коли ж найбільші значення М_х та М_у належать різним перерізам, то обидва ці перерізи беруться до уваги як потенційно небезпечні, тобто такі, за якими слід вести паралельні розрахунки.

Крім зазначених до потенційно небезпечних треба включати і такі перерізи (їх може бути декілька), у яких значення М_х та М_у хоча і не максимальні, але одночасно достатньо великі.

8 Визначаються найбільші нормальні напруження в кожному з потенційно небезпечних перерізів:

.

Приклад виконання лабораторної роботи 7

Для стрижня, показаного на рисунку 4.7, за допомогою МКЕ побудувати епюри поперечних сил і згинальних моментів. Визначити _max.

Рисунок 4.7 – Епюри внутрішніх зусиль для стрижня, у якому відбувається складне згинання

Розв’язок. Нумеруємо вузли і елементи.

Обчислюємо матриці жорсткості елементів.

	0,44Jx	0	0,67Jx	0	-0,44Jx	0	0,67Jx	0
	0	0,44Jy	0	0,67Jy	0	-0,44Jy	0	0,67Jy
	0,67Jx	0	1,33Jx	0	-0,67Jx	0	0,67Jx	0
	0	0,67Jy	0	1,33Jy	0	-0,67Jy	0	0,67Jy
	-0,44Jx	0	-0,67Jx	0	0,44Jx	0	-0,67Jx	0
	0	-0,44Jy	0	-0,67Jy	0	0,67Jy	0	-0,67Jy
	0,67Jx	0	0,67Jx	0	-0,67Jx	0	1,33Jx	0
	0	0,67Jy	0	0,67Jy	0	-0,67Jy	0	1,33Jy

	1,5Jx	0	1,5Jx	0	-1,5Jx	0	1,5Jx	0
	0	1,5Jy	0	1,5Jy	0	-1,5Jy	0	1,5Jy
	1,5Jx	0	2Jx	0	-1,5Jx	0	Jx	0
	0	1,5Jy	0	2Jy	0	-1,5Jy	0	Jy
	-1,5Jx	0	-1,5Jx	0	1,5Jx	0	-1,5Jx	0
	0	-1,5Jy	0	-1,5Jy	0	1,5Jy	0	-1,5Jy
	1,5Jx	0	Jx	0	-1,5Jx	0	2Jx	0
	0	1,5Jy	0	Jy	0	-1,5Jy	0	2Jy

Обчислюємо і :

,

.

Обчислюємо моменти опору і :

;

.

Формуємо матрицю жорсткості конструкції.

Маємо три вузли, кожен вузол має чотири степені вільності, тому розмір матриці жорсткості 12х12. Записуємо значення у вектор вузлових навантажень: на перший елемент діє розподілене навантаження, від нього – вузлові навантаження:

,

,

,

.

Вони запишуться в перший, третій, п'ятий і сьомий рядки.

У другому вузлі прикладений зосереджений момент у горизонтальній площині – його значення заносимо у восьмий рядок. В останніх рядках ставимо нулі.

Таким чином, отримали матрицю жорсткості конструкції.

0,44 Jx	0	0,67 Jx	0	0,44 Jx	0	0,67 Jx	0	0	0	0	0
0	0,44 Jy	0	0,67 Jy	0	-0,44Jy	0	0,67 Jy	0	0	0	0
0,67 Jx	0	1.33 Jx	0	0,67 Jx	0	0,67 Jx	0	0	0	0	0
0	0,67 Jy	0	1.33 Jy	0	0,67 Jy	0	0,67 Jy	0	0	0	0
-0,44Jx	0	-0.67Jx	0	0,44 Jx 1,5 Jx	0 0	0,67 Jx 1,5 Jx	0 0	1,5 Jx	0	1,5 Jx	0
0	-0,44Jy	0	-0,67Jy	0	0,44 Jy 1,5 Jy	0 0	0,67 Jy 1,5 Jy	0 0	-1,5 Jy	0	1,5 Jy
0,67 Jx	0	0,67 Jx	0	-0,67Jx 1,5 Jx	0 0	1.33 Jx 2 Jx	0 0	-1,5 Jx	0	Jx	0
0	0,67 Jy		0,67 Jy	0 0	-0,67Jy 1,5 Jy	0 0	1.33Jy 2 Jy	0	1,5 Jy	0	Jy
0	0	0	0	-1,5 Jx	0	-1,5 Jx	0	1,5 Jx	0	-1,5 Jx	0
0	0	0	0		-1,5 Jy	0	-1,5 Jy	0	1,5 Jy	0	-1,5 Jy
0	0	0	0	1,5 Jx	0	Jx	0	-1,5 Jx	0	2Jx	0
0	0	0	0	0	1,5 Jy	0	Jy	0	-1,5 Jy	0	2Jy

Тепер враховуємо граничні умови:

V₁=0, W₁=0, _x1=0, _y1=0, V₃=0, W₃=0, _x3=0, _y3=0.

Після їх урахування отримуємо систему рівнянь (4.10):

Е	1,94 Jx	0	0,83 Jx	0
	0	1,94 Jy	0	0,83 Jy
	0,83 Jx	0	3,33 Jx	0
	0	0,83 Jy	0	3,33 Jx

Її розв’язання дає значення:

, .

Обчислюємо вектори вузлових навантажень на кінцях елементів.

1-й елемент:

Отримані навантаження прикладаємо до вузлів першого елемента (рис. 4.8).

Перевіримо його рівновагу:

44,9 + 15,1–20·3=0;

60 – 60 = 0;

-13 + 13=0;

34,2 – 44,9·3 + 20·3·1,5+10=0;

34,2134,7+90+100;

-134,7 + 134,2  0.

Нев`язка становить 0,38%, що допустимо.

-14,4 + 13·3–24,5 ( 0;

-38,9 + 39  0.

Нев`язка становить 0,25%, що допустимо.

2-й елемент:

Прикладаємо знайдені навантаження на вузлах елемента 2 (рис. 4.8).

Перевіряємо рівняння рівноваги:

-15,1 + 15,1 = 0;

-13 + 13 = 0;

15,1·2 –10 –20,2 = 0;

30,2- 30,2 =0;

13·2 – 20,5 – 5,4 =0;

26 – 25,9 = 0.

Усі рівняння задоволені.

-а!

Стикуємо епюри по ділянках, отримуємо остаточні епюри, показані на рисунку 4.7.

Визначаємо σ_max.

Небезпечними є перерізи, де , та , .

Як можна побачити, небезпечним є перший переріз.