Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Донбаська державна машинобудівна академія

В. А. Овчаренко, О. Ю. Деньщиков,

О. В. Періг, С. В. Капорович

РОЗРАХУНКИ ТА АвТОМАТИЗОВАНЕ ПРОЕКТУВАННЯ ОПТИМАЛЬНИХ КОНСТРУКЦІЙ

ЗБІРНИК

РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНИХ ЗАВДАНЬ

Рекомендовано

Міністерством освіти і науки України

як навчальний посібник

Краматорськ 2011

УДК 539. 3/.6

ББК 30.121

Р 64

Рецензенти:

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України

(лист № від )

Р 64 Розрахунки та автоматизоване проектування оптимальних конструкцій. Збірник розрахунково-графічних завдань (для студентів спеціальності «Інформаційні технології проектування» денної та заочної форм навчання) / В. А. Овчаренко та [інш.]. – Краматорськ : ДДМА, 2010. – 249 с.

ISBN

Містяться умови задач, які входять до завдань, даються стислі теоретичні викладки за тематикою задач, які виконуються, рекомендації щодо їх розв’язання, приклади їх виконання та аналіз одержаних результатів.

УДК 539. 3/.6

ББК 30.121

ISBN	© В. А. Овчаренко, О. Ю. Деньщиков, О. В. Періг С. В. Капорович, 2011 © ДДМА, 2011

ЗМІСТ

ВСТУП	6
1 МАТРИЦІ І ДІЇ НАД НИМИ	7
1.1 Основні поняття	7
1.2 Дії над матрицями	9
1.2.1 Складання і віднімання матриць	9
1.2.2 Множення матриці на число	10
1.2.3 Множення вектора на матрицю	10
1.2.4 Перемноження векторів	11
1.2.5 Множення матриці на матрицю	12
1.3 Системи лінійних рівнянь алгебри	13
1.3.1 Загальні відомості про системи лінійних рівнянь	13
1.3.2 Матричний метод розв’язання систем лінійних рівнянь	15
1.3.3 Метод Гауса	16
1.4 Лабораторна робота 1	18
2 ВИЗНАЧЕННЯ ВНУТРІШНІХ ЗУСИЛЬ ТА НАПРУЖЕНЬ У КОНСТРУКЦІЯХ, ЩО ПЕРЕБУВАЮТЬ В ОДНООСНОМУ НАПРУЖЕНОМУ СТАНІ	23
2.1 Загальне уявлення про метод кінцевих елементів	23
2.2 Розтягання (стикання) призматичних стрижнів. Визначення напружень. Розрахунок на міцність	24
2.3 Лабораторна робота 2	28
2.4 Лабораторна робота 3	36
2.5 Поняття про кручення. Побудова епюри крутних моментів. Напруження і деформації при крученні круглого вала	47
2.6 Лабораторна робота 4	52
3 ЗГИНАННЯ. ПОБУДОВА ЕПЮР	62
3.1 Поняття про згинання балки. Види опор й опорні реакції. Внутрішні зусилля в балці, їх визначення і правила знаків	62
3.2 Лабораторна робота 5	66
3.3 Лабораторна робота 6	77
4 СКЛАДНИЙ ОПІР	90
4.1 Поняття про складний опір	90
4.1.1 Складне і косе згинання	91
4.1.2 Згинання з крученням круглих валів	94
4.2 Лабораторна робота 7	98
4.3 Лабораторна робота 8	112
5 РОЗРАХУНОК ПЛОСКОЇ ЗАДАЧІ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ	124
5.1 Поняття про плоску задачу теорії пружності	124
5.1.1 Узагальнений закон Гука	124
5.1.2 Плоский напружений стан	125
5.1.3 Плоский деформований стан	127
5.1.4 Зв'язок між деформаціями і переміщеннями	128
5.1.5 Зв'язок між напруженнями і переміщеннями	130
5.2 Особливості осесимметричної задачі теорії пружності	131
5.3 Лабораторна робота 9	133
5.4 Лабораторна робота 10	142
6 РОЗРАХУНКИ В СПЕЦІАЛЬНИХ CAE СИСТЕМАХ НА ПРИКЛАДІ ПАКЕТУ COSMOS/M	153
6.1 Загальні відомості	153
6.1.1 Основний екран і головне меню	155
6.1.2 Алгоритм КЕ-розрахунку в COSMOS/M	157
6.1.3 Геометричні примітиви в GEOSTAR	161
6.1.4 Властивості елементів	164
6.1.5 Параметрична генерація КE-сітки	164
6.1.6 Автоматична генерація одно- і двомірних КЕ-сіток	166
6.2 Команди COSMOS/M	167
6.2.1 Меню GEOMETRY	167
6.2.2 Меню MESHING	168
6.2.3 Меню PROPSETS	170
6.2.4 Меню LOADSBC	172
6.2.5 Меню Analysis	172
6.3 Лабораторна робота 11	173
6.4 Лабораторна робота 12	177
6.5 Лабораторна робота 13	184
6.6 Лабораторна робота 14	187
6.7 Лабораторна робота 15	193
ГЛАВА 7 ОБЧИСЛЮВАЛЬНА ГІДРОДИНАМІКА	200
7.1. Поняття про рівняння руху в’язких середовищ	200
7.1.1. Рівняння імпульсу в консервативній формі	200
7.1.2 Формулювання початкових і граничних умов	202
7.1.3 Рівняння перенесення вихору	208
7.1.4 Граничні умови для вихорового рішення	212
7.1.5 Вихоровий розв’язок для закругленого штампу	214
7.1.6 Метод маркерів	215
7.6 Лабораторна робота 16	219
7.4 Лабораторна робота 17	221
Література	226

ВСТУП

Курсові розрахунково-графічні завдання призначені для розвитку у студента навичок виконання типових міцностних розрахунків, які часто зустрічаються в інженерній практиці. Крім того, вони допомагають кращому засвоєнню теоретичного курсу і придбанню навичок самостійної практичної роботи.

Завдання видається після вивчення відповідного матеріалу.

Кожний студент одержує варіант, згідно з яким виконує усі завдання. Номер варіанта складається з чотирьох цифр. Перша та друга цифри вказують номери стовпчиків відповідно в першій та другій таблицях, третя і четверта – номер схеми.

Дані вказівки подають загальні вимоги і правила оформлення розрахунково-графічних завдань з курсу «Розрахунки та автоматизоване проектування оптимальних конструкцій» згідно з ДСТУ.

Виконання завдання повинно мати такий вигляд:

1. Для кожної задачі на першій сторінці повинно бути записано завдання з даними, відповідно до варіанта, рисунок з усіма необхідними для розрахунку розмірами і значеннями навантаження.

2. На наступних сторінках необхідно навести в довільній формі текстову частину, розрахунки і додаткові рисунки, які пояснюють розв’язання задачі. Завдання повинно бути написано від руки на одній сторінці аркушу паперу формату А4.

3. Усі рисунки та епюри слід виконувати в масштабі.

4. Усі фізичні розміри необхідно виконувати в міжнародній системі одиниць (СІ).

5. Титульний аркуш повинен бути виконаний на цупкому папері формату А4 (зразок див. у додатку А).

6. При виконанні задач необхідно дотримуватись методичних вказівок до кожної задачі.

7 Усі числа, за допомогою яких ведуться розрахунки, повинні бути обгрунтованими.

1 Матриці і дії над ними

1.1 Основні поняття

Прямокутною матрицею розмірністю n на m називається прямокутна таблиця, що складається з n рядків і m стовпців:

Величини, з яких складається ця таблиця, називаються елементами матриці і позначаються тією ж буквою, тільки рядковою, що і матриця, з вказівкою номера рядка (перший індекс) і номера стовпця (другий індекс).

Якщо кількість рядків дорівнює кількості стовпців, то матрицю називають квадратною порядку, який дорівнює кількості рядків (стовпців).

Наприклад, квадратна матриця третього порядку

.

Елементи квадратної матриці, однакові, що мають перший і другий індекс (b₁₁ b₂₂ b₃₃), утворюють головну діагональ. Квадратна матриця, незалежно від її порядку, називається одиничною матрицею, якщо елементи її головної діагоналі дорівнюють одиниці, а всі інші елементи дорівнюють нулю. Таку матрицю позначають Е:

.

Як і в числах, у матрицях існує матриця, що виконує роль нуля, – нульова матриця. Це матриця, усі елементи якої дорівнюють нулю.

Дві матриці вважаються рівними, якщо розміри матриць (кількість рядків і стовпців) однакові і рівні елементи, які лежать на перетині відповідних рядків і стовпців.

Для прямокутних матриць визначена операція транспонування. Розглянемо довільну прямокутну матрицю A. Матриця, що виходить з матриці A заміною рядків стовпцями, називається транспонованою у відношенні до матриці і позначається A^T:

, .

Вірні співвідношення:(A^T )^T =A;(A+B)^T=A^T +B^T ;(AB)^T =B^T A^T.

Квадратна матриця A, для якої A^T =A, називається симетричною. Елементи такої матриці, розташовані симетрично відносно головної діагоналі, рівні.

Квадратна матриця A називається оберненою, якщо існує така матриця X, що AX=XA=E. Матриця X називається зворотною до матриці A і позначається A ^-1, тобто A A ^-1 =A ^-1A=E.

Відомо, що якщо матриця A невирождена (тобто її визначник відмінний від нуля), то в неї існує обернена матриця A ^-1.

Вірне співвідношення: (A^-1)^T =(A^T ) ^-1.

Якщо матриця складається лише з одного стовпця (J = 1), то такий об'єкт називається вектором. Точніше кажучи, вектором-стовпцем. Наприклад:

.

Можна розглядати і матриці, що складаються з одного рядка, наприклад:

.

Цей об'єкт також є вектором, але вектором-рядком. При аналізі даних важливо розуміти, з якими векторами ми маємо справу – із стовпцями або рядками. Так спектр, знятий для одного зразка, можна розглядати як вектор-рядок. Тоді набір спектральних інтенсивностей на якійсь довжині хвилі для всіх зразків потрібно трактувати як вектор-стовпець.

Розмірністю вектора називається кількість його елементів.

Ясно, що всякий вектор-стовпець можна перетворити на вектор-рядок транспонуванням, тобто:

.

У тих випадках, коли форма вектора спеціально не обмовляється, а просто говориться про вектор, то мають на увазі вектор-стовпець. Ми теж дотримуватимемося цього правила. Вектор позначається рядковою прямою напівжирною буквою. Нульовим вектором називається вектор, усі елементи якого дорівнюють нулю. Він позначається 0.