Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вариант 11.doc

Скачиваний:

Добавлен:

13.07.2019

Размер:

2.16 Mб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Задание №1.

В коробке смешаны электролампы одинакового размера и формы:

по 150 Вт – 5 + (К + М)(mod6) штук и по 100 Вт – 10 + (К + М)(mod6). Вынуты из коробки наугад три лампы. Найти вероятность того, что среди них:

а) только одна лампа по 150 Вт;

b) две лампы по 150 Вт;

с) не менее двух ламп по 150 Вт;

d) хотя бы одна лампа по 150 Вт;

е) все лампы одинаковой мощности.

Решение:

В коробке смешаны электролампы одинакового размера и формы:

по 150 Вт – 5 + (1 + 1)(mod6)= 7 штук

по 100 Вт – 10 + (1 + 1)(mod6)=12 штук.

Всего: 7+12=19 штук.

Пусть события:

А – среди трех наугад вынутых ламп будет только одна по 150 Вт,

В – будет две лампы по 150 Вт,

С – будет не менее двух ламп по 150 Вт, эти события независимы,

D- хотя бы одна лампа по 150 Вт, E- все лампы по 150 Вт, F- все лампы по 100 Вт, S – лампы одинаковой мощности.

Тогда:

а) только одна лампа по 150 Вт:

или 47,7%;

b) две лампы по 150 Вт:

или 26%;

c) не менее двух ламп по 150:

Р(не менее двух ламп по 150 Вт)=( две лампы по 150 Вт или три лампы по 150 Вт)

или 29,6%;

d) хотя бы одна лампа по 150:

Р( хотя бы одна лампа по 150 Вт)=1-(ни одной по 150 Вт)

или 77,3%;

e) все лампы одинаковой мощности:

Р(лампы одинаковой мощности) =Р( все лампы по 150 Вт или все лампы по 100 Вт)

Тогда

или 26,3%

Ответ:

Вероятность того, что среди трёх наугад вынутых ламп:

а) только одна лампа по 150 Вт: Р(А) 47,7%

b) две лампы по 150 Вт: Р(В) 26%

с) не менее двух ламп по 150: Р(С) Вт 29,6%

d) хотя бы одна лампа по 150: Р(D) Вт 77,3%

е) все лампы одинаковой мощности: Р(S) 26,3%

Задание №2.

По самолету производится три независимых выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,5, при втором – 0,6, при третьем – 0,7. Для вывода самолета из строя достаточно трех попаданий. При двух попаданиях он выходит из строя с вероятностью 0,6, при одном попадании – с вероятностью 0,3.

1. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет

выведен из строя.

2. В результате трех выстрелов самолет не был выведен из строя. Сколько

попаданий вероятнее всего произошло в самолет?

Решение:

а) Пусть события Н₁, Н₂, Н₃, Н₄ обозначают, что в самолёт попадут: ни разу, 1 раз, 2 раза и три раза соответственно, а событие А – самолет выведен из строя. Тогда:

P(H₁)=	0,50,40,3=0,06	P(A/H₁)=	0
P(H₂)=	0,50,40,3+0,50,60,3+0,50,40,7=0,29	P(A/H₂)=	0,3
P(H₃)=	0,50,60,3+0,50,40,7+0,50,60,7=0,44	P(A/H₃)=	0,6
P(H₄)=	0,50,60,7=0,21	P(A/H₄)=	1

События Н₁, Н₂, Н₃ и Н₄ образуют полную группу, поэтому вероятность того, что самолет выведен из строя в результате трех выстрелов, определим по формуле полной вероятности:

=0,06*0+0,29*0,3+0,44*0,6+0,21*1=0,561

или 56,1%

б) Пусть А - самолет не был выведен из строя при тех же гипотезах. Тогда:

P(A/H₁)=	1-	0	=	1
P(A/H₂)=	1-	0,3	=	0,7
P(A/H₃)=	1-	0,6	=	0,4
P(A/H₄)=	1-	1	=	0

Т.к. самолет не был выведен из строя, т.е. событие A произошло, то вероятности гипотез определим по формуле Байеса

=	0,061+0,290,7+0,440,4+0,210=0,439

Таким образом, вероятнее всего в самолет произошло 1 попадание.

Задание №3.

Согласно статистическим данным в городе N в среднем 17% открывающихся новых предприятий прекращают свою деятельность в течение года.

1. Какова вероятность того, что из 7 наугад выбранных новых предприятий города N к концу года деятельности останется:

а) ровно 5;

b) более 5;

с) менее 5;

d) хотя бы одно предприятие?

2. Вычислить вероятность того, что из ста вновь открытых предприятий в

городе N к концу года прекратят свою деятельность:

а) 14;

b) не менее 14;

с) не более 20;

d) не менее 12, но не более 22 предприятий.

Решение:

n=7 p=0,83 q=0,17

Значение n<10 , поэтому для расчетов воспользуемся формулой Бернулли:

a) ровно 5:

или 23,9%

b) более 5:

P(более 5)=P₇(6;7) = P₇(6)+P₇(7)

Тогда:

P(более 5)= 0,389+0,271=0,66 или 66%

c) менее 5:

P(менее 5)=1-P(не менее 5)=1-P₇(5;7)=1-(0,239+0,389+0,271)=0,1 или 10%

d) хотя бы одно предприятие:

P(хотя бы 1)=1-P(ни одного)=1-P₇(0)

Тогда

P(хотя бы 1)= или 100%

2. Вычислить вероятность того, что из ста вновь открытых предприятий в городе N к концу года прекратят свою деятельность:

n=100 p=0,17 q=0,83

Значение n=100 достаточно велико, поэтому для расчетов воспользуемся локальной и интегральной формулами Лапласа:

a) 14:

, где , а (x) – локальная функция Лапласа

По таблице находим,

что (-0,8)= (0,8)=0,2897,  или 7,71%

b) не менее 14, т.е. от 14 до 100

P_n(k₁;k₂)Ф(x₂)-Ф(x₁), где и , а Ф(x) - интегральная функция Лапласа

По таблице значений функции Ф(x) находим, что Ф(-0,8)=-0,2881, а Ф(22,1)=0,5, 

P₁₀₀(12;100)0,5+0,2881=0,7881 или 78,81%

c) не более 20, т.е. от 0 до 20

По таблице значений функции Ф(x) находим, что Ф(-4,53)=-0,5, а Ф(0,8)=0,2881, 

P₁₀₀(0;18)0,2881+0,5=0,7881 или 78,81%

d) не менее 12, но не более 22:

По таблице значений функции Ф(x) находим, что Ф(-1,33)=-0,4082, а Ф(1,33)=0,4082, 

P₁₀₀(10;20)0,4082+0,4082=0,8164 или 81,64%

Задание №4.

Два бухгалтера независимо друг от друга заполняют одинаковые ведомости. Первый бухгалтер допускает ошибки в среднем в 7%, второй – в 13% всех документов. Количество заполненных ведомостей первым бухгалтером равно 3, вторым – 0. Рассматривается случайная величина (с.в.) – число ведомостей, заполненных двумя бухгалтерами без ошибок.