5. Проверим гипотезу о соответствии выборочных данных нормальному распределению.

Определим концы интервалов по формуле , для чего составим таблицу

i	Границы интервалов		Границы интервалов
	xi	xi+1	zi	zi+1
1	2,16954	3,205248	-	-1,2352
2	3,205248	4,240956	-1,2352	-0,4278
3	4,240956	5,276664	-0,4278	0,3795
4	5,276664	6,312372	0,3795	1,1868
5	6,312372	7,34808	1,1868	+

Найдем теоретические вероятности p_i и теоретические частоты . Результаты расчетов запишем в таблицу

i	Границы интервалов		Ф(zi)	Ф(zi+1)	pi
	zi	zi+1
1	-	-1,2352	-0,5	-0,3916	0,1084	2,71
2	-1,2352	-0,4278	-0,3916	-0,1656	0,226	5,65
3	-0,4278	0,3795	-0,1656	0,1478	0,3134	7,835
4	0,3795	1,1868	0,1478	0,3823	0,2345	5,8625
5	1,1868	+	0,3823	0,5	0,1177	2,9425

Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона . Для этого составим таблицу:

i	ni
1	3	2,71	0,29	0,0841	0,031
2	5	5,65	-0,65	0,4225	0,0748
3	6	7,835	-1,835	3,3672	0,4298
4	8	5,8625	2,1375	4,5689	0,7793
5	3	2,9425	0,0575	0,0033	0,0011
	25	25			1,316

=1,316

По уровню значимости =0,05 и количеству степеней свободы k=n-3=5-3=2 находим по таблице критических точек: =9,2

Т.к. , то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении испытаний.

6. Построим доверительный интервал для генеральной средней и генеральной дисперсии.

Предельная ошибка выборки для средней рассчитывается по формуле:

, где t – коэффициент доверия, который зависит от вероятности, с которой делается утверждение.

Коэффициент доверия находится из соотношения 2Ф(t)=p, где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

По условию p=0,99, 

2Ф(t)=0,99

Ф(t)=0,495

t=2,58.

Границы, в которые попадает генеральная средняя, задаются неравенствами:

4,7898– 0,662  a  4,7898+ 0,662

4,1278 a  5,4518

Найдем интервальную оценку среднего квадратического отклонения

s(1-q)<<s(1+q) (при q<1)

0<<s(1+q) (при q>1)

Значения q(n,) находятся по таблице.

В данном случае =0,95, n=25,  q(25;0,95)=0,32

1,2829(1-0,32)<< 1,2829(1+0,32)

0,8724<<1,6934

Тогда оценка для дисперсии будет:

0,8724²<²<1,6934²

0,7611<²<2,8676

7. С надежностью 0,99:

а) проверим гипотезу о равенстве генеральной средней значению 5,1.

Выдвигаем гипотезы:

H₀: a=5,1

H₁: a>5,1

Т.к. дисперсия генеральной совокупности неизвестна, то рассчитываем выражение

По таблице значений критических точек Стьюдента находим критическое значение

t_кр(;n-1)=t_кр(0,01;24)=2,8

Т.к. 1,21<2,8, то нет оснований отвергнуть гипотезу о равенстве генеральной средней значению 5,1.

б) Проверим гипотезу о равенстве генеральной дисперсии значению 1,0404.

Выдвигаем гипотезы:

H₀: ²=1,0404

H₁: ²>1,0404

Рассчитываем выражение

По таблице значений критических точек распределения «Хи-квадрат» находим критическое значение (;n-1)= (0,01;24)=42,98

Т.к. 37,9677<42,98, то нет оснований отвергнуть гипотезу о равенстве генеральной дисперсии значению 1,0404.