4.3 Лабораторна робота 8
Виходячи з третьої теорії
міцності, визначити діаметр проміжного
вала редуктора. Допустиме напруження
.
Вихідні дані вибрати із таблиць 4.3 та 4.4 і рисунка 4.9.
Таблиця 4.3
Величина |
Значення величини відповідно до першої цифри номера варіанта |
|||||||||
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
M, кНм |
10 |
15 |
20 |
18 |
15 |
25 |
30 |
14 |
25 |
8 |
Т1, кН |
10 |
8 |
12 |
14 |
10 |
10 |
12 |
8 |
12 |
6 |
Т2, кН |
25 |
24 |
22 |
20 |
18 |
16 |
10 |
18 |
12 |
10 |
Таблиця 4.4
Величина |
Значення величини відповідно до другої цифри номера варіанта |
|||||||||
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
P1, кН |
20 |
50 |
80 |
30 |
40 |
65 |
35 |
55 |
45 |
70 |
P2, кН |
30 |
40 |
60 |
70 |
20 |
35 |
65 |
25 |
45 |
55 |
а, м |
0,7 |
0,5 |
0,4 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
1,0 |
0,6 |
0,5 |
b, м |
0,5 |
0,6 |
0,4 |
0,5 |
0,3 |
0,5 |
0,4 |
0,5 |
0,7 |
0,6 |
с, м |
0,3 |
0,5 |
0,7 |
0,5 |
0,6 |
0,4 |
0,6 |
0,7 |
0,5 |
0,7 |
Рисунок 4.9
Рисунок 4.9, аркуш 2
Рисунок 4.9, аркуш 3
Указівки до виконання лабораторної роботи 7
Поділяємо стрижень на кінцеві елементи. Нумеруємо отримані елементи і вузли (зручно поділяти таким чином, щоб кінцеві елементи співпадали з ділянками стрижня).
Обчислюємо матрицю жорсткості кожного з елементів. Матриця жорсткості кінцевого елемента має розмір 10х10. Оскільки осьові моменти інерції Jx= Jy= J0, то матриця жорсткості запишеться так:
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
- |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
де i – довжина i-го елемента,
Е – модуль пружності.
Формуємо матрицю жорсткості конструкції як ансамбль матриць жорсткості кінцевих елементів, з яких складається конструкція. Її порядок дорівнює кількості вузлів.
4 Записуємо систему рівнянь виду:
де К – матриця жорсткості конструкції в цілому;
– вектор переміщень (лінійних
та кутових) усіх вузлів;
– вектор вузлових навантажень.
5 З розв’язання системи рівнянь знаходяться переміщення і кути повороту вузлів.
6 Визначити величини поперечних сил Qхі, Qуі та згинальних моментів Mхі, Муі , аналогічно тому, як це зроблено у роботі 5.
Побудувавши графіки зміни поперечних сил і згинальних моментів уздовж стрижня, отримаємо епюри поперечних сил і згинальних моментів.
7 Аналізуються епюри згинальних моментів і визначається найбільше навантажений (небезпечний) переріз балки. Якщо Мх та Му мають найбільші значення в одному і тому ж перерізі, то саме цей переріз і є небезпечним. Коли ж найбільші значення Мх та Му належать різним перерізам, то обидва ці перерізи беруться до уваги як потенційно небезпечні, тобто такі, за якими треба вести паралельні розрахунки.
Крім зазначених до потенційно небезпечних треба включати і такі перерізи (їх може дути декілька), у яких значення Мх та Му хоча і не максимальні, але одночасно достатньо великі.
Визначаються величини приведених моментів у характерних перерізах вала:
.
8 За епюрою наведених моментів визначається
найбільше їх значення –.
9 Визначається необхідний діаметр вала:
Умова міцності має вигляд:
,
де W0 – осьовий момент опору вала,
– для суцільного вала;
– для кільцевого вала,
,
де d – внутрішній діаметр кільцевого вала.
Приклад виконання лабораторної роботи 8
Для стрижня, показаного на
рисунку 4.10, а за
допомогою МКЕ побудувати епюри
,
і
.
Визначити діаметр вала за IV-ою теорією
міцності, якщо
=120
МПа.
Рисунок 4.10 – Стрижень, в якому відбувається згинання з крученням, та його остаточні епюри
Розв’язок. Нумеруємо вузли і елементи.
Обчислюємо матрицю жорсткості
кожного елемента, при цьому виносимо
загальний множник EJ0.
Коефіцієнт від кручення GJр
необхідно поділити на EJ0,
він дорівнює
.
|
0,44 |
0 |
0,67 |
0 |
0 |
-0,44 |
0 |
0,67 |
0 |
0 |
0 |
0,44 |
0 |
0,67 |
0 |
0 |
-0,44 |
0 |
0,67 |
0 |
|
0,67 |
0 |
1,33 |
0 |
0 |
-0,67 |
0 |
0,67 |
0 |
0 |
|
0 |
0,67 |
0 |
1,33 |
0 |
0 |
-0,67 |
0 |
0,67 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0,27 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-0,27 |
|
-0,44 |
0 |
-0,67 |
0 |
0 |
0,44 |
0 |
-0,67 |
0 |
0 |
|
0 |
-0,44 |
0 |
-0,67 |
0 |
0 |
0,44 |
0 |
-0,67 |
0 |
|
0,67 |
0 |
0,67 |
0 |
0 |
-0,67 |
0 |
1,33 |
0 |
0 |
|
0 |
0,67 |
0 |
0,67 |
0 |
0 |
-0,67 |
0 |
1,33 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
-0,27 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,27 |
|
1,5 |
0 |
1,5 |
0 |
0 |
-1,5 |
0 |
-1,5 |
0 |
0 |
0 |
1,5 |
0 |
1,5 |
0 |
0 |
-1,5 |
0 |
-1,5 |
0 |
|
1,5 |
0 |
2 |
0 |
0 |
-1,5 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1,5 |
0 |
2 |
0 |
0 |
-1,5 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0,4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-0,4 |
|
-1,5 |
0 |
-1,5 |
0 |
0 |
1,5 |
0 |
-1,5 |
0 |
0 |
|
0 |
-1,5 |
0 |
-1,5 |
0 |
0 |
1,5 |
0 |
-1,5 |
0 |
|
1,5 |
0 |
1 |
0 |
0 |
-1,5 |
0 |
2 |
0 |
0 |
|
0 |
1,5 |
0 |
1 |
0 |
0 |
-1,5 |
0 |
2 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
-0,4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,4 |
Формуємо матрицю жорсткості всієї конструкції.
0,44 |
0 |
0,67 |
0 |
0 |
-0,44 |
0 |
0,67 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0,44 |
0 |
0,67 |
0 |
0 |
-0,44 |
0 |
0,67 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0,67 |
0 |
1,33 |
0 |
0 |
-0,67 |
0 |
0,67 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0,67 |
0 |
1,33 |
0 |
0 |
-0,67 |
0 |
0,67 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0,27 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-2,7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
-0,44
|
0 |
-0,67 |
0 |
0 |
0,44 1,5 |
0 0 |
-0,67 1,5 |
0 0 |
0 0 |
-1,5 |
0 |
1,5 |
0 |
0 |
|
0 |
-0,44
|
0 |
-0,67 |
0 |
0 0 |
0,44 1,5 |
0 0 |
-0,67 1,5 |
0 0 |
0
|
-1,5 |
0 |
1,5 |
0 |
|
0,67 |
0 |
0,67 |
0 |
0 |
-0,67 1,5 |
0 0 |
1,33 2 |
0 0 |
0 0 |
-1,5 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0
|
0,67 |
0 |
0,67 |
0
|
0 0 |
-0,67 1,5 |
0 0 |
1,33 2 |
0 0 |
0 |
-1,5 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
-0,27 |
0 0 |
0 0 |
0 0 |
0 0 |
0,27 0,4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-0,4 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1,5 |
0 |
-1,5 |
0 |
0 |
1,5 |
0 |
-1,5 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1,5 |
0 |
-1,5 |
0 |
0 |
1,5 |
0 |
-1,5 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1,5 |
0 |
1 |
0 |
0 |
-1,5 |
0 |
2 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1,5 |
0 |
1 |
0 |
0 |
-1,5 |
0 |
2 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-0,4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,4 |
У вектор вузлових навантажень заносимо значення від q1=6 кН/м:
- 1-й рядок
- 3-й рядок
6-й рядок
- 8-й рядок
від навантаження q2=9 кН/м:
- 7-й рядок
- 9-й рядок
12-й рядок
14-й рядок
Від М =30 кНм до 10-го рядка заноситься 30 кН·м.
Граничні умови:
Після урахування граничних умов отримаємо систему рівнянь:
.
Її розв’язання:
Визначаємо зусилля на вузлах елементів, прикладаємо ці зусилля до відповідних елементів і будуємо епюри внутрішніх зусиль (рис. 4.11 і 4.12).
1-й елемент:
.
Рисунок 4.11 – Епюри внутрішніх зусиль для 1-го елемента
2-й елемент:
.
Рисунок 4.12 – Епюри внутрешніх зусиль для 2-го елемента
Зістикувавши епюри по ділянках, будуємо остаточні епюри (див. рис. 4.10).
Найбільш небезпечними є перерізи в закріпленнях, де діють моменти:
а) ліве закріплення:
,
,
,
б) праве закріплення:
,
,
.
Як бачимо, найбільш небезпечними є перерізи в правому закріпленні.
Для цього перерізу визначений розрахунковий момент:
Визначаємо необхідний момент опору перерізу:
З іншого боку
,
звідки
Приймаємо діаметр вала D = 110 мм.
5 РОЗРАХУНОК ПЛОСКОЇ ЗАДАЧІ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ
5.1 Поняття про плоску задачу теорії пружності
До цих пір розглядали стрижньові конструкції, для яких МКЕ дає точне рішення. Для задач теорії пружності МКЕ дає наближене рішення, яке залежить від виду кінцевих елементів і їх кількості.
5.1.1 Узагальнений закон Гука
З опору матеріалів при об'ємному напруженому стані (рис. 5.1) відомі залежності між напруженнями і деформаціями, які називаються узагальненим законом Гука.
Рисунок 5.1 – Об`ємний напряжений стан
Вони мають вигляд:
(5.1)
де
– головні нормальні
напруження;
– головні деформації.
5.1.2 Плоский напружений стан
Для плоского задачі теорії пружності розрізняють плоский напружений і плоский деформований стани.
При плоскому напруженому стані напруження, перпендикулярні площині, відсутні (рис. 5.2):
Рисунок 5.2 – Плоский напружений стан
Узагальнений закон Гука для цього випадку має вигляд:
(5.2)
Виразимо тепер
та
через
та
:
У матричній формі маємо:
. (5.3)