7.1.3 Рівняння перенесення вихору

У попередньому розв’язку задачі РККП для прямокутного штампу йшлося про вивчення течії оброблюваного в’язкого матеріалу через зону осередку деформування . Водночас варто врахувати вплив вхідного та вихідного каналів штампу (див. рисунок 7.6).

Виконаємо диференціювання (7.1) по і (7.2) по , виключимо тиск і визначимо вихор як [15]-[16]

. (7.13)

У такий спосіб маємо рівняння переносу вихору

. (7.14)

Це ж рівняння в консервативній формі має вигляд

. (7.15)

Рисунок 7.6 – Розрахункові лінії струму в осередку деформації AEBF для течії пластиліну (вихоровий розв’язок)

Визначемо функцію току співвідношеннями

, . (7.16)

Тоді рівняння вихору (7.13) запишемо у вигляді

. (7.17)

Якщо перейти до безрозмірних змінних, то безрозмірний вихор визначається як , а безрозмірна функція току є   (див. рисунок 7.7). Тоді рівняння переносу вихору (7.15) запишемо як

. (7.18)

Рисунок 7.7 – Епюри для функції току (а) і вихору (б), де вхід у осередок деформування зліва, а вихід – вправо

Рівняння (7.16) для функції току набудуть вигляду

, , (7.19)

а власне вихор (7.13) запишеться як

. (7.20)

Алгоритм чисельного розв'язку рівняння (7.18) у випадку рівноканального кутового пресування можна проілюструвати наступною блок-схемою (див. рисунок 7.8). Програмна реалізація зазначеного алгоритму здійснена у середовищі Object Pascal (IDE Lazarus) (див. виконуваний файл Navier-Stokes_Psi,2Theta,Phi.exe). Наразі процес обчислення відбувається досить швидко, оскільки замість системи рівнянь (7.4)–(7.5) розв’язується лише одне рівняння (7.18), причому вся різноманітність в’язких течій матеріалів при деформуванні описується рішеннями одних і тих самих диференціальних рівнянь в частинних похідних, рівнянь Нав’є-Стокса.

Водночас різні течії (тобто рішення) відрізняються лише граничними і початковими умовами, а також такими параметрами рішення як число Рейнольдса .

Рисунок 7.8 – Блок-схема алгоритму розв'язання рівнянь Нав’є-Стокса для змінних функції току ψ і вихору ζ

7.1.4 Граничні умови для вихорового рішення

Якщо говорити саме про усталений режим РККП, то початкові умови візьмемо у вигляді грубого наближення до стаціонарного рішення:

; ; ; , (7.21)

де − число кроків координати на ширині каналу.

Граничні умови для досліджуваної задачі сформулюємо із наступних міркувань. Сім'я ліній функції току являє собою сукупність ліній току. Можемо довільно вважати, що в точці , яка розташована на зовнішньому куті штампу, ми маємо , , а у внутрішній точці , довкола якої закручуються лінії току, вважаємо , , причому одиниця приймається тому, що всі величини є безрозмірними:

(7.22)

Граничні умови на вході у осередок пластичного деформування задамо співвідношеннями Пуазейля, звідки для витрати в’язкого матеріалу маємо перепад розмірного тиску на кроці координати , де – крок координати.

Отже перепад безрозмірного тиску на кроці координати визначається як

. (7.23)

Таким чином граничні умови на вході осередку пластичної деформації мають вигляд

; . (7.24)

Граничні умови на виході визначаються як

; . (7.25)

В'язкість матеріалу визначаємо методом послідовних наближень відповідно до експериментально виміряних значень тиску пресування і швидкості матеріалу на вході у осередок пластичної деформації.

Рівняння (7.18) із початковими умовами (7.21) і граничними умовами (7.22), (7.24)-(7.25) були розв'язані чисельно (див. виконуваний файл Navier-Stokes_Psi,2Theta,Phi.exe) за схемою Річардсона для течії пластиліну в прямокутному штампі для РККП (див. рисунок 7.6) при наступних числових значеннях: густина пластиліну  кг/м³, межа текучості  кПа, ширина кожного каналу  мм, кут зовнішнього закруглення штампу , швидкість пресування  мм/с, в’язкість плинного матеріалу  Па•с, число Рейнольдса , питома теплоємність пластиліну  кДж/(кг•К), питома теплопровідність  Дж/(м•с•К), кількість кроків координати уздовж осі , відносна похибка ітерацій становить , момент часу для побудови першої ізохрони є  с, тиск пресування на вході є кПа. Результати інтегрування представлені на відповідних епюрах на рисунку 7.9.

Запропонований гідродинамічний підхід дозволяє більше дізнатися про механіку процесу РККП. Фактично аморфні і полікристалічні матеріали за умов пластичного деформування можна розглядати як квазіньютонівські рідини з ефективною в'язкістю, яка враховує не тільки в'язке тертя, але і фрагментацію структури оброблюваного матеріалу. На рисунку 7.9б в зоні осередку пластичного деформування можна помітити пік дотичних напружень, який характеризує велику неоднорідність деформацій у об'ємі оброблюваного матеріалу, що може спричинити розтріскування заготівки.

Окрім того, існування великих градієнтів швидкостей і дотичних напружень зумовлює відносний обертальний рух для зерен оброблюваного полікристалічного матеріалу і формує осередки макроскопічної ротації в зоні деформування матеріалу при кутовому пресуванні.

Рисунок 7.9 – Розрахункові епюри динамічних параметрів, де вхід – зліва, а вихід – вправо: компоненти швидкостей (а)-(б), повна швидкість (в), розігрів матеріалу (г), дотичні напруження (д) і тиск пресування (е)