8.6. Вынужденные колебания. Резонанс

Колебания, рассмотренные в предыдущем параграфе, происходили при отсутствии внешних сил (но при наличии сил трения и сопротивления). Такие колебания называются свободными колебаниями. Частота свободных колебаний зависит от свойств системы и интенсивности потерь; с увеличением эта частота уменьшается. Чтобы колебания колеблющейся системы были незатухающими, энергию, теряемую системой на преодоление сил трения и сопротивления, необходимо восполнять за счет внешних источников. Наибольший интерес представляет случай, когда потери энергии осциллятора восполняются за счет работы внешней периодической силы Колебания, происходящие под действием такой силы, называются вынужденными колебаниями.

Уравнение движения частицы в случае действия вынуждающей силы Запишем его в виде

(5.13)

где Уравнение (5.13) описывает вынужденные колебания осциллятора. Это есть линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения (5.10) и частного решения неоднородного уравнения (5.13). Общим решением однородного уравнения (5.10), как мы видели, является затухающая осциллирующая функция (5.12). В качестве частного решения неоднородного уравнения (5.13) можно выбрать такое, которое меняется со временем по гармоническому закону с частотой, равной частоте внешней вынуждающей силы:

(5.14)

Такой выбор обусловлен тем, что, как показывает опыт, по прошествии некоторого времени после начала действия вынуждающей силы, осциллятор начнет совершать гармонические колебания с частотой вынуждающей силы ω. Если взять время то к этому времени свободные колебания затухнут и установятся вынужденные колебания, описываемые формулой (5.19). Время называют временем установления колебаний (затухающих).

Для определения амплитуды А и фазы вынужденных колебаний воспользуемся символическим методом. Поскольку запишем правую часть уравнения (1.13) в комплексной форме

(5.15)

решение (5.14) также запишем в комплексном виде: Здесь и в уравнении (5.15) символ опущен. Подставив эту функцию в уравнение (5.15), получим

или

Из условия равенства комплексных чисел находим

Возведя в квадрат и сложив эти равенства, найдем амплитуду вынужденных колебаний:

(5.16)

где учтено, что Разделив второе равенство на первое, найдем Следовательно, сдвиг фаз φ между колебаниями осциллятора и колебаниями вынуждающей силы:

(5.17)

Из (5.16) и (5.17) видно, что амплитуда вынужденных колебаний определяется амплитудой вынуждающей силы F₀, ее частотой ω, а также собственной частотой ω₀ осциллятора и его коэффициентом затухания β. Сдвиг фаз φ между колебаниями осциллятора и внешней вынуждающей силы также зависит от величин ω, ω₀ и β.

На рис. 5. показана зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы. Видим, что с ростом ω амплитуда А(ω) быстро возрастает от значения А(0) = достигает максимума при ω = ω_р и затем убывает, стремясь к нулю. Величина А(0) представляет собой смещение от положения равновесия, которое получает осциллятор под действием постоянной силы F₀ Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при некоторой частоте вынуждающей ω_р силы называется резонансом, а частота ω_р – резонансной частотой. Резонансная частота находится из условия максимума функции А(ω) или минимума подкоренного выражения в формуле (5.16). Получим Если затухание мало ( то можно считать, что Таким образом, резонанс достигается, когда частота вынуждающей силы близка к частоте собственных колебаний осциллятора. При этом

Кривая А(ω), изображенная на рис 5., называется амплитудно-частотной характеристикой вынужденных колебаний или резонансной кривой. Форма резонансной кривой существенно зависит от коэффициента затухания β. Чем меньше β, тем больше т.е. тем выше лежит максимум кривой А(ω) и тем он острее. Ширина резонансной кривой определяется величиной где частота определяется условием Из этого условия находим Видим, что тем меньше, чем меньше коэффициент затухания или чем больше время затухания τ.

При резонансе колебательная система оказывается наиболее отзывчивой на действие вынуждающей силы. Получаемая колебательной системой от внешнего источника энергия при этом максимальна. Из (5.13) видно, что при резонансе, т.е. при , первый и третий члены в сумме дают нуль. Второй член при этом равен правой части, т.е. Или - сила сопротивления в каждый момент времени уравновешивается внешней вынуждающей силой. Это значит, что при резонансе квазиупругая сила так же, как и при собственных колебаниях, сообщает ускорение колеблющемуся телу, а внешняя сила уравновешивает силу сопротивления. При резонансе осциллятор совершает как бы собственные колебания, описываемые уравнением (5.1), а внешняя вынуждающая сила только поддерживает колебание тела.

Зависимость фазы φ вынужденных колебаний от частоты ω вынуждающей силы называется фазочастотной характеристикой вынужденных колебаний. Эта характеристика представлена на рис. 5. Из этого рисунка видно, что при всех частотах сдвиг фазы Это означает, что вынужденные колебания отстают по фазе от колебаний вынуждающей силы при всех частотах ω, кроме ω = 0. С ростом частоты ω это отставание увеличивается и при приближается к В этом случае сила и смещение x изменяются в противоположных направлениях, проходя нулевое значение почти одновременно. При колебания вынуждающей силы опережают колебание смещения x по фазе на при любом значении коэффициента затухания Но именно на такую величину опережает скорость осциллятора его смещение x. Отсюда следует, что при резонансе вынуждающая сила и скорость осциллятора колеблются синфазно, т.е. все время совпадают по направлению. Поэтому при резонансе мощность, развиваемая внешней силой, достигает максимального значения. Этим и объясняется возрастание энергии, а значит, и амплитуды колебаний осциллятора при резонансе. Вдали от резонанса условие равенства силы сопротивления и внешней силы, а значит, и синфазность изменений направлений силы и скорости нарушаются. Сила только часть времени совпадает по направлению со скоростью (и в этот промежуток времени энергия осциллятора увеличивается), в другую же часть времени сила действует противоположно скорости (и в этот промежуток времени энергия осциллятора уменьшается). Поэтому вдали от резонанса колебания осциллятора слабее.