8.9. Ангармонические колебания

Весьма важный раздел теории колебаний составляют так называемые нелинейные, или ангармонические (не гармонические) колебания. Они возникают, когда отклонение частицы от положения устойчивого равновесия не является малым. В этом случае в разложении потенциальной энергии (3.) уже нельзя ограничиться членом, пропорциональным x², и следует включить также и четвертый член пропорциональный x³. Обозначив через g, для потенциальной энергии частицы при не очень малом отклонении x будем иметь

(8.20)

Профиль потенциальной кривой (8.20) показан на рис. 8. Эта потенциальная кривая, как и параболическая кривая имеет минимум в точке x = 0. В области x < 0 второй член в потенциальной энергии (8.20) прибавляется к первому члену, а в области x > 0 – вычитается из него. Поэтому кривая (8.20) несимметрична относительно положения равновесия x = 0, ее левая ветвь идет круче правой. Потенциальная энергия имеет также максимум в точке x = k / g (и второй раз обращается в нуль в точке x = 3k / 2g). Поэтому амплитуда колебаний (при указанной на рисунке энергии Е она равна должна быть малой по сравнению с k / g, так что колебания должны происходить около минимума потенциальной энергии, т.е. около точки x = 0. Координаты точек поворота x₁, x₂, x₃ определяются из решения уравнения

Сила, действующая на материальную точку при указанной потенциальной энергии, Наличие члена с x² делает эту силу нелинейной относительно смещения x. Нелинейным будет и уравнение движения материальной точки:

(8.)

Общего метода решений нелинейных дифференциальных уравнений не существует. Но если нелинейный член много меньше предшествующих, то для решения такого уравнения можно использовать метод теории возмущений¹. В нашем случае условие малости нелинейного (третьего) члена выполняется (этот третий член много меньше второго), поэтому для решения уравнения (8.) можно использовать указанный метод.

Чтобы явно выразить степень малости члена запишем его в виде где – малый параметр, имеющий размерность обратной длины и называемый коэффициентом ангармоничности. С учетом этого уравнение (8.) перепишется в виде

(8.)

Уравнение (8.) называется уравнением движения ангармонического осциллятора. Уравнения такого типа описывают поведение довольно большого класса нелинейных колебательных систем и широко используются на практике.

Суть метода теории возмущений состоит в следующем. Положив λ = 0, получают из линейного уравнения начальное, или порождающее, решение x₀(t). При λ > 0, но малом, искомое решение ищется в виде ряда по степеням λ в окрестности начального решения:

(8.)

Коэффициенты (n = 0, 1, 2, … ) в разложении должны быть периодическими функциями, причем при n > 0 можно рассматривать как поправки к начальному решению или как возмущения, вызванные нелинейным членом. С увеличением λ требуется большое число поправок – членов разложения. Разложение (8.) с намеченным числом членов подставляется в исходное уравнение, и приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях λ в левой и правой частях. Получающиеся при этом системы уравнений имеют рекурентный вид. Решение системы уравнений для λ = = 0 дает нулевое приближение.

При λ = 0 (нулевое приближение) уравнение (8.) переходит в уравнение движения гармонического осциллятора

Поэтому в качестве нулевого приближения можно принять решение этого уравнения, т.е функцию

Для простоты считаем α = 0. Если ограничиться членом, линейным по λ (первым приближением), то решение уравнения (8.) следует искать в виде

Полученное описанным выше способом решение уравнения (8.) в первом приближении имеет вид

(8.)

Из (8.) видно, что в первом приближении частота ангармонических колебаний совпадает с частотой гармонического осциллятора ω₀. Кроме того, наряду с колебаниями с частотой ω₀ возникают колебания с удвоенной частотой 2ω₀ и появляется постоянное смещение Наличие этого постоянного слагаемого обусловлено несимметричностью потенциальной кривой (8.) (смещение колеблющейся точки в сторону более пологой ветви больше, чем в сторону более крутой) и представляет собой среднее по времени значение координаты точки ¹. Действительно, так как то из (8.) находим (рис. 8.).

Вторая гармоника (член с в выражении (8.) возникает вследствие наличия в дифференциальном уравнении члена, пропорционального x² (т.е. вследствие нелинейности уравнения движения). Чтобы удовлетворить этому уравнению, пришлось к члену, содержащему (к основной гармонике), добавить член, пропорциональный

Продолжая решение, т.е. находя следующие, более малые поправки путем подстановки в уравнение (8.) решений в предыдущем приближении, мы получим третью, четвертую и более высокие гармоники. Однако так как λ << 1, то ряд будет быстро сходиться, поскольку в члены, соответствующие высоким частотам, в качестве множителей будут входить все более высокие степени λ. Добавление новых членов ряда и новых поправок привело бы к повышению точности и к дополнительным гармоникам в решении, но при этом существенно возросли бы трудности анализа.

Таким образом, наличие нелинейности в уравнении движения приводит к тому, что наряду с колебаниями с основной частотой ω возникают колебания с частотами, кратными ω. При этом частота ω только в нулевом и первом приближениях оказывается равной ω₀. В общем же случае она отличается от ω₀ и зависит от амплитуды А колебаний (уменьшается с ростом А).

1 Термином «фаза» часто называют само состояние частицы

1 Название связано с тем, что один из членов дифференциального уравнения (нелинейный) «возмущает» (несколько изменяет) движение, описываемых уравнений, не содержащих этого члена.

1 Угловые скобки обозначают усреднение по промежутку времени.