2.3.2. Передаточная функция

Передаточной функцией W(s) комплексной переменной s называется отношение изображения выходной величины к изображению входного воздействия при нулевых начальных условиях. Нулевые начальные условия для линейных непрерывных систем всегда предполагаются. (Этот вопрос будет рассмотрен ниже при описании временных характеристик). Таким образом,

(2.13)

где – оператор прямого преобразования Лапласа, - оператор обратного преобразования Лапласа.

Чтобы получить передаточную функцию системы, заданной уравнением (2.11), необходимо к обеим частям этого уравнения применить преобразование Лапласа. Тогда передаточная функция W(s) представляется в виде отношения двух полиномов комплексной переменно s.

(2.14)

где и – обозначение полиномов.

Приравнивая нулю, полином знаменателя, называемый характеристическим, формируется характеристическое уравнение

. (2.15)

Решением этого алгебраического уравнения являются значения n корней характеристического уравнения или полюсов передаточной функции

Аналогично, приравнивая нулю полином числителя получаем в качестве решения нули передаточной функции Тогда, используя теорему Виета, передаточная функция представляется в виде

В зависимости от того, являются ли полюса или нули вещественными или комплексно-сопряженными, передаточная функция представляется в виде произведения передаточных функций определенного набора типовых звеньев. Например,

(2.16)

Типовые звенья будут подробно рассмотрены в следующем разделе.

2.3.3. Частотные характеристики

2.3.3.1. Комплексный коэффициент передачи

Применение частотных характеристик приводит к косвенным методам анализа систем. Их преимущество в возможности использования исключительно наглядных графических и графо-аналитических методов.

Вручную построенные характеристики используются для предварительного, достаточно приближенного анализа и коррекции системы с последующим уточнением результатов с применением цифровой вычислительной техники.

Рассматриваемые ниже частотные характеристики являются характеристиками комплексного коэффициента передачи. При этом используются две формы представления .

(2.17)

где - вещественные характеристики, - амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики системы.

2.3.3.2. Амплитудно-фазовая характеристика (афх)

Э то наиболее часто используемая характеристика системы, представляющая собой годограф на комплексной плоскости, изображенный при изменении частоты в диапазоне Полная характеристика должна быть построена в диапазоне изменения частоты Но в силу ее симметричности относительно точки используется только половина этой характеристики. В зависимости от формы представления в выражении (2.17) годограф строится в декартовой или полярной системе координат. В обоих случаях искомая кривая задается в параметрической форме, следовательно, при построении годографа теряется информация об изменении частоты при движении по годографу. Поэтому должны быть предусмотрены способы определения значения частоты в любой заданной точке годографа. Например, в ряде точек графика АФХ указывается значение соответствующей частоты.