2.2. Методы линеаризации

В общем случае вектор-функции и в уравнениях (2.4) и (2.5) являются нелинейными. Если эти функции удаётся линеаризовать, то изучение подобных нелинейных, но линеаризованных систем, проводятся с применением значительно более простых методов применимых для линейных систем автоматического управления.

Методы линеаризации можно разделить на две группы:

2.2.1. Линеаризация статической нелинейности

Статическая нелинейность задается функцией и может быть представлена графически. Пусть линеаризация проводится при , , . При достаточно малом диапазоне изменения аргумента справедливо соотношение

, (2.6)

Введя обозначение , получим линейное уравнение относительно новой переменной

. (2.7)

Если диапазон изменения аргумента х функции настолько велик, что провести линеаризацию на всем диапазоне невозможно, то выбираются несколько значений аргумента определяющие рабочие (опорные) режимы работы системы (или элемента системы). Тогда в достаточно небольшом диапазоне изменения переменной х относительно выбранного рабочего режима получим линеаризованное уравнение (2.7) с коэффициентом . Значения коэффициентов при этом могут существенно отличаться друг от друга.

2.2.2. Линеаризация динамической нелинейности.

а) Линеаризация относительно положения равновесия.

Динамический режим работы системы задан уравнениями (2.4) или (2.5). Пусть для системы существует стационарный режим, определяющий её положение равновесия, т.е.

(2.8)

Таким образом, в положении равновесия вектора - постоянные. Если отклонения достаточно малы, то линеаризация уравнений (2.4) или (2.5) приводит к уравнениям вида

Частные производные вектор-функций и по составляющим векторов и образуют матрицы A, B, C, D, все элементы которых постоянны.

(2.9)

b) Линеаризация относительно опорного динамического режима.

Пусть задан некоторый динамический режим работы системы (опорный режим), т.е. заданы вектор-функции , на отрезке времени . Если отклонения невелики, то линеаризованые уравнения совпадают с уравнениями (2.9), но матрицы коэффициентов в них , , , - являются функциями времени.

(2.10)

2.3. Математические методы описания характеристики линейных непрерывных систем

2.3.1. Дифференциальные уравнения n-го порядка

Рассматривается линейная или линеаризованная одноконтурная стационарная система n-го порядка с одним входным воздействием. Уравнения (2.9) после соответствующих преобразований всегда можно свести к одному уравнению n-го порядка с постоянными коэффициентами, а уравнения (2.10) – к уравнению с переменными коэффициентами. В данной дисциплине будут рассматриваться только уравнения с постоянными коэффициентами.

Итак, входное задающее воздействие системы , выходная величина - . Линейная система автоматического управления n-го порядка описывается дифференциальным уравнением

(2.11)

где n и m – наибольшие порядки производных функций и , – постоянные коэффициенты. Для системы с полной информацией все эти параметры должны быть заданы.

При заданном входном воздействии и заданных начальных условиях

(2.12)

интегрирование уравнения (2.11) однозначно определяет закон изменения выходной величины для всех моментов времени (динамический режим работы системы).