Вбудовані функції та функції користувача

Для підвищення ефективності організації обчислювальних алгоритмів і роботи з даними пакет має великий набір вбудованих функцій, що охоплюють різні розділи сучасної математики. Вбудовану функцію (за певним виключенням функцій доступу до даних) подібно змінній можна використати в будь-якому виразі документа або в якості аргумента інших функцій.

Разом з вбудованими функціями пакет допускає функції користувача, застосування яких повністю ідентичне випадку вбудованих функцій, але з областю дій лише в рамках даного документа.

Перед своїм використанням функція користувача повинна бути визначена локальним або гловальним способом:

<імя функції> (<список аргументів>) {:=|} <вираз>.

При цьому при глобальному визначенні функції користувача усі змінні, що в неї входять (окрім аргументів) повинні бути попередньо визначені як глобальні.

Приклад:

S(a)a2+a-1 — може бути записане у будь-якому місці mcad-програми.

Використовують таку функцію як звичайну вбудовану, наприклад, S(3)=29.

Розглянемо як використати дану функцію для обчислень із ранжованими змінними:

1. X:=XP, (XP+CR)…XK Y(X):=S(X)

2. i:=0…m X0:=XP j:=1..m Xj:=X(j-1)+DX

Yi:=S(Xi)

3. i:=0..m xi:=a1, a2 — вхідні дані у вигляді таблиці

Yi:=S(xi)

Розділ 21Алгоритми та програми реалізації загальних чисельних методів.

21.1. Розв’язання систем лінійних рівнянь.

Системи з n лінійних рівнянь виду

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=b₁ ,

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=b₂ , (1)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a_n1x₁+a_n2x₂+…+a_nnx_n=b_n

вирішуються точними та ітераційними методами. Точні методи дають точне розв’язання за кінцеву кількість операцій, якщо всі вони виконувалися без погрішності. Кількість операцій у ітераційних методів залежить від заданої погрішності обчислень.

Метод Гауса або метод послідовного виключення невідомих заснований на приведенні матриці коефіцієнтів a_ij до трикутного виду. При цьому алгоритм розв’язання системи (1) наступний:

1. За допомогою двох циклів з керуючими змінними i=1, 2, …, n та j=1, 2, …, n організуємо ввід коефіцієнтів a_ij та b_i, утворюючих масиви A(I, J) та B(I).

2. Провидимо прямий хід виключення змінних шляхом перетворення коефіцієнтів (1) за формулами

a_ji=­ - a_ji /a_ii; a_jk=a_jk+a_jia_ik; b_j=b_j+a_jib_i,

де i=1, 2, …, n-1; j=i+1, i+2, …, n та k=i+1, i+2, …, i+n. В кінці цих перетворень отримуємо x_n=b_n/a_nn.

3. Організуємо зворотній хід (послідовне знаходження x_n-1, x_n-2, ..., x₂, x₁), проводячи обчислення за формулами

h=b_i, та h=h-x_ja_jj,

де i=n-1, n-2, …, 2, 1; j=i+1, i+2, …, n та x_i=h/a_li. В результаті формується масив X (J) невідомих x_i, x_n-1, …, x₂, x₁.

4. Організуємо вивід масиву Х(1).

Метод Гауса з вибором головного елементу заключається в тому, що при прямому ході відбувається вибір найбільшого по модулю (головного) елементу та перестановка рядків або стовпців (див. мал.1). Останнє виключає ділення на 0; якщо матриця A (I, J) містить нульові елементи, та збільшує точність обчислень при наявності помилок округлення.

Метод обертання є різновидом методу Гауса, що володіє стійкістю до „провалів” проміжних обчислень. Цей метод забезпечує приведення початкової (вихідної) системи (1) до системи з правою трикутною матрицею.

Програма 1

10 PRINT ‘РОЗВ’ЯЗАННЯ СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ’

15 PRINT ‘МЕТОДОМ ОБЕРТАННЯ’

20 INPUT ‘ВВЕДІТЬ ЧИСЛО РІВНЯНЬ N=’ N:LETM=0:DIM A(N, N)

25 FOR I=1 TO N:FOR J=1 TO N

30 PRINT !2.0! ‘ВВЕДІТЬ КОЕФІЦІЄНТ A’ I’, ’J

40 INPUT A(I, J):IF J< >N THEN 60

50 PRINT ‘ВВЕДІТЬ B’ I:INPUT A(I, 0)

60 NEXT J:NEXT I

70 FOR I=1 TO N-1:FOR K=I+1 TO N

80 IF A(I ,I)< >0 THEN 110

90 IF A(K ,I)< >0 THEN 110

100 LETM=1:LETL=0:GOTO 130

110 LETM=SQR(A(I, I)^2+A(K, I)^2)

120 LETL= -A(K, I)/M:LETM=A(I, I)/M

130 FOR J=1 TO N:LETR=M*A(I, J)-L*A(K, J)

140 LETA(K, J)=L*A(I, J)+M*A(K, J)

150 LETA(I, J)=R:NEXT J

160 LETR=M*A(I, 0)-L*A(K, 0)

170 LETA(K, 0)=L*A(I, 0)+M*A(K, 0)

180 LETA(I, 0)=R:NEXT K: NEXT I

190 FOR I=N TO 1 STEP -1:LETM=0

200 FOR K=0 TO N-I-1

210 LETM=M+A(0, N-K)*A(I, N-K):NEXT K

220 LETA(0, I)=(A(I, 0)-M)/A(I, I)

230 PRINT !2.0! ’КОРІНЬ X’ I ’=’ !F1.9!A(0, I)

240 NEXT I:END

Метод мінімізації заключається у пошуку мінімуму цільової функції

F(x₁, x₂, ..., x_n)=|f₁(x₁, x₂, ..., x_n)|+...+|f₂(x₁, x₂, ..., x_n)|,

компоненти якої формуються з рівнянь розв’язуваної системи

f₁(x₁, x₂, ..., x_n)=a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a_1nx_n-b₁,

f₂(x₁, x₂, ..., x_n)=a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a_2nx_n-b₂,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f_n(x₁, x₂, ..., x_n)=a_n1x₁+a_n2x₂+...+a_nnx_n-b_n.

Якщо x₁, x₂, ..., x_n – розв’язання (1), то функція F(x₁, x₂, ..., x_n)=0. Для реалізації цього методу можуть використовуватися програми пошуку мінімуму функції рядку змінних.