Тема 5.5. Розрахунок надійного інтервалу.

Надійний інтервал ₁ ₂, включає істинне значення x; вимірюваної величини з надійною ймовірністю

(31)

де Ф(z) - функція Лапласа (інтеграл ймовірності), значення якої табульовано (табл. 2); z = || /  (х).

Ймовірність того, що випадкова похибка опиниться за межами інтервалу ₁ _2:

і називається рівнем значимості.

На практиці доволі часто обмежуються надійним інтервалом від +3(х) до -З(х), для якого надійна ймовірність становить 0,9973 (габл. 2), або 99,73%.

Приклад 1. При вимірюванні сили струму середнє квадратичне відхилення становило 0,2% ((х) = 0,002). Визначити ймовір­ність, що випадкова похибка вимірювання буде лежати в межах інтервалу ± 0,5 %.

Розв’язок: а) межі інтервалу, ₁ ₂ = ± 0,005; б) в) для z = 2,5-2-Ф(z) = 0,9876; г) рівень значимості 1-2Ф(z) = 0,0124 (1,24%).

Приклад 2. Визначити межі надійного інтервалу при вимірюванні сили струму для (х) = 0,01, якщо надійна ймовірність дорівнює 0,995.

Розв'язок: а) для 2Ф (z) = 0,995 z = 2,8; б) надійний інтервал ; в) випадкова похибка може досягти значень 0,01 ±0,028.

Надійний інтервал , для випадкової похибки середнього значення відповідної вибраної надійної ймовірності Р, визначають за формулою

(32)

де .

Приклад 3. Визначити надійний інтервал для середнього значення опору навантаження за результатами 64 спостережень при Sn=0,04 і надійній ймовірності 90 %.

Таблиця 6. Значення коефіцієнта Стьюдента t

n	P
	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,98	0,99	0,995	0,999
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21	1,000 0,816 0,765 0,741 0,727 0,718 0,711 0,706 0,703 0,700 0,697 0,695 0,694 0,692 0,691 0,690 0,689 0,688 0,688 0,674	1,376 1,061 0,978 0,941 0,920 0,906 0,896 0,889 0,883 0,879 0,876 0,873 0,870 0,868 0,866 0,865 0,863 0,862 0,861 0,842	1,963 1,336 1,250 1,190 1,156 1,143 1,119 1,108 1,110 1,093 1,088 1,083 1,079 1,076 1,074 1,071 1,069 1,067 1,066 1,036	3,08 1,886 1,638 1,533 1,476 1,440 1,415 1,397 1,383 1,372 1,363 1,356 1,350 1,345 1,341 1,337 1,333 1,330 1,328 1,282	6,31 2,92 2,35 2,13 2,02 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 1,746 1,740 1,734 1,729 1,645	12,71 4,30 3,18 2,77 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26 2,23 2,20 2,18 2,16 2,14 2,13 2,12 2,11 2,10 2,09 1,96	31,8 6,96 4,54 3,75 3,36 3,14 3,00 2,90 2,82 2,76 2,72 2,68 2,65 2,62 2,60 2,58 2,57 2,55 2,54 2,33	62,7 9,92 5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25 3,17 3,11 3,06 3,01 2,98 2,95 2,92 2,90 2,88 2,86 2,58	127,3 14,1 7,5 5,6 4,77 4,32 4,03 3,83 3,69 3,58 3,50 3,43 3,37 3,33 3,29 3,25 3,22 3,20 3,17 2,81	637,2 31,6 12,94 8,61 6,86 5,96 5,40 5,04 4,78 4,59 4,49 4,32 4,22 4,14 4,07 4,02 3,96 3,92 3,88 3,29

Таблиця 7. Надійна ймовірність 2Ф (z)

z	2Ф(z)	z	2Ф(z)	z	2Ф(z)	z	2Ф(z)
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90	0,0000 0,0399 0,0797 0,1192 0,1585 0,1974 0,2357 0,2737 0,3108 0,3473 0,3829 0,4177 0,4515 0,4843 0,5161 0,5467 0,5763 0,6047 0,6319	0,95 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80	0,6579 0,6827 0,7063 0,7287 0,7499 0,7699 0,7887 0,8064 0,8230 0,8385 0,8529 0,8664 0,8789 0,8904 0,9011 0,9109 0,9199 0,9281	1,85 1,90 1,95 2,00 2,05 2,10 2,15 2,20 2,25 2,30 2,35 2,40 2,45 2,50 2,55 2,60 2,65 2,70	0,9357 0,9426 0,9488 0,9545 0,9596 0,9643 0,9684 0,9722 0,9756 0,9786 0,9812 0,9836 0,9857 0,9876 0,9892 0,9907 0,9920 0,9931	2,75 2,80 2,85 2,90 2,95 3,00 3,10 3,20 3,30 3,40 3,50 3,60 3,70 3,80 3,90 4,00 4,50 5,00	0,9940 0,9949 0,9956 0,9963 0,9968 0,9973 0,9987 0,9988 0,9990 0,9993 0,9995 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,99994 0,99999 0,999999

Розв'язок: а) середнє квадратичне відхилення So = 0,04/64=0,005; б) для 2Ф (z) = 0,90-z = 1,645; в) межі надійного інтервалу =±S0z ± 1,645-0,005 = ± 0,008; г) похибка вимірювання з вірогідністю 90 % не буде перевищувати 0,04±0,008.

Обраховуване за відхиленням від середнього арифметичного середнє квадратичне відхилення S„ є тільки приближениям до дійсного значення середнього квадратичного відхилення  (х). Чим меншим є число спостережень, тим більшим є це приближения,Тому при малому числі спостережень, коли невідомим є  (х), надійну ймовірність і надійний інтервал визначають, користуючись законом розподілу Стьюдента, яке характеризує коефіцієнт t. Для практичного застосування цього розподілу служать спеціальні таблиці. В табл. 6 подано значення коефіцієнта Стьюдента для різних надійних ймовірностей Р і різного числа вимірювань n (при n—> розділ зводиться до нормального). Знаючи число спостережень n і задавшись надійною ймовірністю, за табл. 6 знаходять значення t, а потім межі надійного інтервалу:

Приклад 4. Шестикратне вимірювання опору резистора дало такірезультати: 72,361; 72,357; 72,352; 72,346; 72,344; 72,340 Oм. Потрібно визначити надійний інтервал для середнього при Р=0,99.

Розв'язок: а) середнє арифметичне х = 72,350 Ом; відхилення від середнього арифметичного і сума їх квадратів =+0,011; +0,07; +0,02; -0,04; -0,06; -0,010;

=0,0326; в)

г) для n = 6 і Р - 0,99 t = 4,03; д) надійний ітервал для середнього ± (S0t)= 0,035-4,03 = ±0,141 Ом