Тема 5.2. Природа і джерела випадкових похибок. Роль теорії ймовірності у вивченні випадкових похибок.

Випадковою називається така подія, яка при здійсненні певного комплексу умов може відбутися або не відбутися. Стосов­но області вимірювання можна вважати, що при проведенні по­вторних спостережень в однакових умовах кожна з множини мож­ливих незначних причин випадкових змін результатів може з'явитися або ні. В результаті випадкові зміни, що з'являються при кожному вимірюванні, можуть бути будь-якими як за розміром, так і за знаком.

Для кожного і-го вимірювання х,- випадкова похибка обчис­люється за формулою

(20)

де x_і - виміряне значення; x - істинне значення вимірюваної величини.

Ймовірність події є кількісною оцінкою об'єктивної можливості і появи. Ймовірність достовірної події дорівнює 1, а ймовірність не можливої події 0. Події, ймовірності появи яких більші за 0 і менші за 1, є подіями випадковими.

Питаннями статистичних методів визначення ймовірності події займається математична статистика.

Випадковою називають похибку, яка змінюється непередбачувано, нерегулярно, хаотично, випадковим чином під час повторних вимірювань однієї і тієї самої величини в однакових умовах.

Випадкові похибки виникають через велику кількість причин, які діють незалежно одна від одної. Це призводить до того, що результати окремих спостережень відріз­няються один від одного, причому ці зміни відбуваються без будь-якої закономірності.

Випадкові величини, в тому числі і випадкові похибки, характеризуються ймовірністю. Ймовірність випадкової величини і випадкової похибки зокрема показує, як часто трапляється конкретне значення _ цієї величини і визна­чається відношенням кількості випадків Ni коли випадко­ва похибка  приймає дане конкретне значення_, до загальної кількості N випадків:

(2.8)

Найбільш повною характеристикою випадкової похибки є функція розподілу ймовірностей і густина ймовірностей.

Функція розподілу ймовірностей або закон розпо­ділу ймовірностей показує, яка ймовірність того, що випадкова похибка не перевищує дане значення, тобто який відсоток від загальної кількості похибок станов­лять похибки, які не перевищують дане значення.

Ймовірність будь-якого значення вимірюваної величини нескінченно мала. Щоб виявити розподіл ймовірностей, розглядають ряд інтервалів значень величини і підраховують частоти від попадання значень величини на кожний інтервал, отримуючи, ким чином, статистичний ряд.

Інтервал ...

Частота , ...

Статистичний ряд графічно подається у вигляді гістограми (рис. 13, а). Площі прямокутників гістограми дорівнюють частотам відповідних інтервалів. Повна площа гістограми дорівнює одиниці.

При інтегруванні гістограма приймає вигляд плавної кривої (рис. 13, б), її називають графіком щільності розподілу ймовірностей (щільності розподілу), а рівняння, що описує його, законом розподілу випадкової величини. Ордината кривої (на­приклад, ордината Р_к в точці Х_к) називається щільністю ймовірності в даній точці. Площа ж під всією кривою дорівнює ймовірності появи будь-якого з можливих значень х_і тобто 1.

Більшість випадкових величин розподіляється за законом нормального розподілу (законом Гаусса). Щільність нормального розподілу для будь-якої випадкової величини х описується рівнянням

де σ(х) - середнє квадратичне відхилення випадкової величини від її математичного сподівання М(х).

Вираз (21) застосовується і до випадкових похибок:

(22)

де σ(Δ) - середнє квадратичне відхилення похибки від її математичного сподівання М(Δ), в метрології величина М(Δ), характеризує систематичну складову похибки.

Гістограма і графік щільності розподілу ймовірності

На рис. 14, а подано графік нормального розподілу Р(х). По осі абсцис відкладено результати спостережень над деякою величиною, що містить випадкові похибки, а по осі ординат - щільності , ймовірності її появи.

Теоретично доведено, що якщо систематичні похибки повністю вилучено, то істинне значення вимірюваної величини дорівнює математик­ному сподіванню результатів вимірювання. Абсциса, яка відповідає математичному сподіванню, називається центром розподілу. Якщо перенести початок координат в центр розподілу, тобто по осі абсцис відкладати різницю , то отримаємо криву розподілу випадкових похибок Р() (рис. 14, б), її аналітичний вираз приймає вигляд

(23)

Найбільша щільність ймовірності (найбільша ордината відповідає похибці = 0 (рис. 14, б). При зміні похибки як в бік додатних, так і в бік від'ємних значень ординати кривої зменшуються, тобто чим більшою є похибка , тим меншою є щільність ймовірності її появи (тим рідше можна сподіватися її появи). Знижуючись, крива асимптотично наближається до осі абсцис. Це означає, що щільність ймовірності появи дуже великих похибок зникливо мала. Симетричне розташування кривої відносно осі ординат свідчить про те, що похибки однакові, але з різними знаками) мають однакову щільність ймовірності.