5.1. Расчет параметров кристаллической решетки и ширины запрещенной зоны в гетероструктурах

Для двойных гетероструктур важным условием является согласование параметра решетки а₀ внутренней активной области с более широкозонными областями. Изопериодные разрезы со значением параметра решетки а₀ можно получить в четырехкомпонентных системах А_хВ_1–х С_уD_1–y и A_xB_yC_1–x–yD, если a_min < a₀ < a_max, где a_min, a_max – минимальное и максимальное значения параметров решетки базовых бинарных соединений.

Примечание 1. Формулы многокомпонентных твердых растворов можно записывать по-разному, присваивая тому или иному элементу индекс х (например, Al_хGa_1–х As_уP_1–y и Al_1–хGa_х As_1–уP_y). В литературе встречаются и другие формы записи. В СПбГЭТУ "ЛЭТИ" для однозначности интерпретации результатов расчетов принято правило записывать формулу твердых растворов на основе соединений А³В⁵, начиная с элементов металлической подрешетки в последовательном возрастании порядкового номера в Периодической системе, присваивая индекс х элементу с наименьшим порядковым номером. Аналогично производится запись элементов в подрешетке неметалла. Примеры: Ga_хIn_1–х P_yAs_1–у; Ga_хIn_1–х P_yAs_1–уSb_1–у–z; Al_хGa_y In_1–х–у As.

Примечание 2. Монокристаллические слои полупроводниковых твердых растворов обладают регулярной структурой с незначительными неоднородностями состава (Δх, Δу), флуктуирующими по всему объему образца. Например, для тройных твердых растворов А_хВ_1–х С

Δх = ,

где N – концентрация узлов в решетке, в которой происходит замещение атомов одного сорта атомами другого; R – усредненный размер области флуктуации.

В данном издании задачи решаются для усредненных значений составов полупроводниковых твердых растворов без учета влияния флуктуаций состава. Однако надо понимать, что такие флуктуации могут играть важную роль при локализации электронных возбуждений и при распаде твердых растворов. Читателю, заинтересованному в углубленном изучении перечисленных вопросов, предлагается обратиться к дополнительной литературе, в частности [32].

Задача 5.1. Рассчитать зависимость периода решетки и ширины запрещенной зоны от состава для твердого раствора Ga_xIn_1–xAs. Исходные данные для расчета приведены в табл. П 1 и П 2 Приложения.

Указание. Зависимость параметра решетки а(х) для данного раствора рассчитать по правилу Вегарда: а(х) = х а_GaAs + (1 − х) а_InAs.

Ширину запрещенной зоны рассчитать по данным табл. П 1 Приложения:

ΔE_g = (х) = х _GaAs + (1 − х) _InAs − х(1− х),

где (х) – ширина энергетического зазора в точке Г, с^Г − параметр квадратичной нелинейности (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Упрощенная энергетическая зонная структура полупроводников А3В5

Энергетический зазор в (∙) Г зоны Бриллюэна равен значению ширины запрещенной зоны ΔЕ_g для прямозонных полупроводников; энергетический зазор (при положении зоны проводимости в (∙) Х, обозначенной на рис. 5.1 пунктирной линией) равен термической ширине запрещенной зоны в непрямозонных полупроводниках.

Оценить вклад в значение параметра квадратичной нелинейности составляющей (эВ), обусловленной различием параметров кристаллических решеток базовых бинарных соединений:

= , где , a = 0,5 (a_GaAs +a_InAs).

Задача 5.2. Определить область составов, в которой твердый раствор GaP_хAs_1–х имеет непрямую структуру зон. Исходные данные для расчета взять из табл. П 2 Приложения.

Указание. Записать выражения для энергетических зазоров в (∙) Г − и в (∙) Х − (х) k-пространства:

(х) = х _GaР + (1 − х) _GaAs − с^Гx(1 – x),

(х) = х _GaP + (1 − x) _GaAs − с^X x(1 – x).

Найти значения состава х, при котором = (х).

Задача 5.3. Определить состав х твердого раствора Ga_xIn_1–xP, изопериодного с подложкой GaAs, для формирования лазерной гетероструктуры. Температура эпитаксии Т_эп = 773 К. Найти значение ширины запрещенной зоны Δ для найденного значения состава х, используя данные, приведенные в табл. П 1 и П 2 Приложения.

Указание. Рассчитать состав твердого раствора, изопериодного с GaAs при Т_эп, исходя из условия изопериода: .

Задача 5.4. В тройных системах А – В – С на основе соединений А³В⁵ в квазибинарных разрезах существуют твердые растворы А_хВ_1–х С и АВ_хС_1–х, в которых базовые бинарные соединения могут иметь разный тип энергетической зонной структуры (прямозонные и непрямозонные полупроводники). Для последних важно знать значения состава х в переходной точке х_с, в которой прямозонный твердый раствор становится непрямозонным, а зависимость ширины запрещенной зоны от состава х изменяет свой характер, переходя от зависимости Δ к зависимости Δ .

Определить значения состава х_с в переходной точке для твердых растворов: а) Ga_xIn_1–xP; б) Al_xGa_1–xAs; в) Al_xIn_1–xAs; г) AlР_xAs_1–x; д) Al_xGa_1–xSb; е) Al_xIn_1–xSb. Найти значение х_с и ширину запрещенной зоны Δ (х_с). Сравнить полученные результаты с данными табл. П 2 Приложения.

Задача 5.5. Используя правило Вегарда, найти значения параметра решетки для четырехкомпонентного раствора А_хВ_1–хС_уD_1–y при заданных значениях х = х₀ и у = у₀.

Ответ: а (х₀, у₀) = х₀ у₀ а_АС + (1 – х₀) у₀ а_ВС + х₀ (1 – у₀) а_АD +

+ (1 – х₀)(1 – у₀) а_ВD.

Задача 5.6. Используя правило Вегарда, найти значения параметра решетки для четырехкомпонентного раствора A_xB_yC_1–x–yD при заданных значениях х = х₀ и у = у₀.

Ответ: а (х₀, у₀) = х₀ а_АD + у₀ а_ВD + (1 – х₀ – у₀) а_CD .

Задача 5.7. Провести тетраэдрацию концентрационного тетраэдра в системе Ga – In – Р – As. Показать, что область существования четырехкомпонентных твердых растворов Ga_хIn_1–хР_уAs_1–у лежит в сечении, представляющем квадрат с вершинами, соответствующими бинарным соединениям. Построить графическим способом изопериодные разрезы к бинарным подложкам InP и GaAs. Исходные данные приведены в табл. П 1 Приложения.

Задача 5.8. Решите задачу 5.7 аналитическим способом.

Указание. Использовать общий вид зависимости а(х, у) для твердых растворов А_1–хВ_хС_1–уD_y. Найти у = f (х) для значения а (х, у) = а₀, где а₀ – период решетки подложки, для которой определяется изопериодный разрез.

Ответ: .

Задача 5.9. Проанализировать выражение, приведенное в ответе задачи 5.8. Доказать, что в приближении равенства ковалентных радиусов (приближение Полинга) зависимость состава у от состава х в изопериодном разрезе является линейной функцией.

Указание. Использовать соотношение между параметром кристаллической решетки (структура сфалерита) и ковалентными радиусами металла r_A и r_B:

r_A + r_B = .

Задача 5.10. Доказать, что для изопериодного разреза со значением параметра решетки a в системе с твердыми растворами A_xB_yC_1–x–yD справедлива зависимость: .

Задача 5.11. Построить изопериодные разрезы к собственным бинарным соединениям для твердых растворов:

а) Al P_хAs_ySb_{1– х– у}; б) InP_хAs_ySb_{1– х – у}; в) Al_хGa_1–хP_ySb_1–у;

г) Ga_хIn_1–х P_yAs_1–у; д) Ga_хIn_1–хAs_ySb_1–у; е) Al_хGa_y In_1–х–у As.

Задача 5.12. Изопериодные твердые растворы могут быть выращены не только на подложках бинарных соединений, входящих в состав твердых растворов, но и на инородных подложках. В каких четырехкомпонентных растворах A_1–хB_хC_уD_1–y и A_xB_yC_{1 – x – y}D существует возможность получения изопериода к подложке GaSb? Построить изопериодный разрез к GaSb на концентрационном квадрате InP_хAs_ySb_{1– х – у}.

Ответ. Изопериодный разрез к подложке GaSb можно получить в любых четверных системах, если a_min < a_GaSb < a_max.

Задача 5.13. Рассмотреть возможность изменения и λ (в микрометрах) при вариации материала в системах подложек и составов изопериодных слоев:

а) подложка Ga_хIn_1–хAs, твердый раствор Ga_хIn_1–х P;

б) подложка Ga_хIn_1–хAs, твердый раствор InP_хAs_1–х;

в) подложка InAs_хSb_1–х твердый раствор Ga_хIn_1–хSb.

Ответ. Диапазон изменения λ вдоль возможных изопериодов при вариации конечных составов буферных слоев-подложек составляет:

а) 0,87…1,7 мкм; б) 1,7…3,14 мкм; в) 3,4…7,3 мкм.

Оптический диапазон оптоэлектронных приборов на основе А³В⁵ можно расширить путем использования буферных слоев. При этом параметр решетки подложки согласуется с параметром решетки первых выращенных слоев буферного твердого раствора, а параметр решетки последующих выращенных слоев буферного твердого раствора согласуется с параметром решетки функционального слоя. В самом буферном слое состав, а следовательно, и параметр решетки плавно изменяются. Таким образом, буферные слои являются варизонными. Изменяя состав полученного слоя, можно получить различные значения для изопериода.

Задача 5.14. В современной оптоэлектронике широко используются изопериодические системы Ga_хIn_1–хP_yAs_1–у/GaAs и Ga_хIn_1–х P_yAs_1–у /InP. Определить возможный диапазон изменения длины волны излучения λ в приборах, сформированных в изопериодической системе Ga_хIn_1–х P_yAs_1–у/InP при Т = 300 К.

Указание. Значение длины волны λ (мкм) найти с использованием выражения λ = , в котором Е_g(x, y) задается в электрон-вольтах. Граничными составами изопериодного разреза являются InP и Ga_0,47In_0,52As. Значения ширины запрещенной зоны Δ определить по данным табл. П 2 Приложения.

Задача 5.15. На геометрических образах, соответствующих составам четверных твердых растворов, построить изоэнергетические кривые (кривые для разных составов с фиксированным значением ширины запрещенной зоны Δ ). Построение производить только в области прямой структуры зон для указанных ниже твердых растворов:

а) Ga_хIn_1–х P_yAs_1–у; б) Al_хGa_1–хP_yAs_1–у; в) Ga_хIn_1–хAs_ySb_1–у; г) Al_хGa_1–хAs_ySb_1–у; д) Al_хGa_y In_1–х–у P; e) Al_хGa_y In_1–х–у As; ж) Al_хGa_y In_1–х–уSb; з) InP_хAs_ySb_{1– х– у}.