9.2 Двовимірне і тривимірне рівняння теплопровідності.

.

Задача Коші для двовимірного рівняння теплопровідності.

Знайти функцію , яка задовольняє рівняння:

і початкові умови .

Розв’язок подається функцією

Аналогічно формулюється і розв’язується задача Коші для тривимірного простору.

10. Еліптичні рівняння.

Якщо процес стаціонарний (тепловий чи коливний), то рівняння, що його описує, записується у такому вигляді , (рівняння)

називається рівнянням Лапласа.

О. Функція, яка задовольняє рівняння Лапласа в деякій області, називається гармонічною в цій області.

Якщо функція аналітична в деякій області, то і дійсна та уявна частини є функції гармонічні в цій області (потрібно використовувати умови Коші-Рімана).

, то і - гармонічні в .( ; .

Приклад 1.

– функції гармонічні скрізь крім (0;0);

Приклад 2 . гармонічні в ;

Приклад 3. – функція гармонічна скрізь, крім точки .

Дійсно:

В наслідок симетричності

Приклад 4.

Приклад 5. – гармонічна.

– гармонічна, – гармонічна.

10.1 Задача Діріхле.

Знайти гармонічну в області D функцію, яка на межі Г цієї області дорівнює заданій функції .

10.1.1 Задача Діріхле для круга.

y

Знайти гармонічну в крузі функцію, яка задовольняє умову

.

х Постановка задачі в п олярних координатах .

- оператор Лапласа в полярних

координатах;

Задача. Знайти функцію u, яка задовольняє рівняння

і має задане значення на колі (межі круга)

Розв’язання (метод Фур’є).

Підставляємо вирази у рівняння, маємо:

Перше рівняння системи –це рівняння Ейлера, друге звичайне диференціальне рівняння 2-го порядку з сталими коефіцієнтами.

,

( ) =0;

Т=2 . ;

2 ;

Знаходимо обмежені розв’язки задачі Діріхле ,тому

Дістаємо зчислену кількість розв’язків задачі Діріхле :

оскільки рівняння однорідне, то

(*)

Для знаходження використовуємо межову умову.

Справа дістали ряд Фур’є для

(**)

Висновок.

_{Розв’язок задачі Діріхле для круга подається рядом , коефіцієнти якого обчислюються за формулою (**).}

Перетворення ряду.

У (*) підставляємо і з (**).

;

;

, (***)

де - ядро Пуассона, а весь інтеграл - це інтеграл Пуассона.

Зауваження: при виведенні формули (***) ми вважали, що розв’язок задачі Діріхле, тобто шукана функція існує, крім цього, ми скористалися розкладом функції в ряд Фур’є, що не обов’язково має місце, тому потрібно перевірити, що формула (***), тобто інтеграл, що стоїть в правій частині цієї формули дає гармонічну функцію всередині круга і функція є граничним значенням цього інтеграла на колі (межі круга).

Приклад. Зведення оператора Лапласа до полярних координат