- •1.Основні поняття і символіка:
- •2.Заміна змінних.
- •Тема 1.2. Рівняння гіперболічного типу
- •1. Рівняння коливання струни.
- •2. Задача Коші для нескінченної струни.
- •3. Вільні коливання напівнескінченної струни.
- •4. Вільні коливання скінченої струни.
- •5. Вільні коливання прямокутної мембрани.
- •5.1 Крайова задача.
- •6.Рівняння Бесселя. Функції Бесселя.
- •2.Подача коефіцієнтів через г-функцію.
- •7. Коливання круглої мембрани.
- •8.Одномірне рівняння теплопровідності. Задача Коші.
- •Можна довести, що функція (а) задовольняє одномірне рівняння теплопровідності, через це називається фундаментальним розв’язком рівняння теплопровідності.
- •Точковий імпульс.
- •9.Теплопровідність у скінченому стержні.
- •9.1 Крайова задача
- •9.2 Двовимірне і тривимірне рівняння теплопровідності.
- •10. Еліптичні рівняння.
- •10.1 Задача Діріхле.
- •10.1.1 Задача Діріхле для круга.
- •10.1.2 Задача Діріхле для кулі.
- •10.1.3 Розв’язання задачі Діріхле.
- •11. Метод функції Гріна для задачі Діріхле
- •12. Функція Гріна.
- •13. Задача Діріхле для кулі (метод функції Гріна). Знайти гармонічну в кулі функцію, яка на поверхні кулі дорівнює
- •14.Задача Діріхле для напівпростору.
- •15. Задача Штурма-Ліувілля.
- •16. Одна спеціальна крайова задача.
13. Задача Діріхле для кулі (метод функції Гріна). Знайти гармонічну в кулі функцію, яка на поверхні кулі дорівнює
1)Побудова функції Гріна.
а) Знаходимо т. А* симетричну т. А відносно кулі; О – центр кулі;
ОА ОА*= – симетричні точки,
ОА= , ОА*= *, *= .
б) Знаходимо
в).
Функція гармонічна скрізь в кулі. Тому вираз у дужках є функцією Гріна для задачі Діріхле для кулі.
|
функція Гріна для задачі Діріхле для кулі.
2)Для кулі:
Знаходимо нормальну похідну від функції Гріна; на :
Після перетворення дістанемо:
Висновок.
Розв’язок задачі Діріхле для кулі подається такою формулою:
- формула Пуассона.
Знаходимо у формулі Пуассона.
14.Задача Діріхле для напівпростору.
z Розглянемо верхню частину.
Г: – поверхня не замкнена,
– зовнішня нормаль,
y – оператор диференціювання.
x
Задача.
Знайти функцію гармонічну у заданому півпросторі, яка на площині
приймає задані значення
, - функція Гріна.
I. Будуємо функцію Гріна для заданого півпростору методом симетрії.
Розглядаємо точку .
Знаходимо симетричну точку - відносно площини
Розглядаємо біжучу точку .
Знаходимо .
Знаходимо .
- гармонічна у півпросторі (скрізь, крім точки А).
- гармонічна (скрізь).
.
II. Знаходимо похідну від функції Гріна по зовнішній нормалі і обчислюємо похідну на межі :
III. За формулою Гріна подаємо значення функції в точці А.
. (*)
Висновок.
Розв’язок задачі Діріхле для напівпростору подається формулою (*).
Зауваження.
Оскільки інтеграл у формулі (*) невласний, то для його збіжності функція повинна задовольняти певні умови. Природною умовою є абсолютна інтегрованість цієї функції на всій площині, що означає скінченність теплоти, поданої на площину.
Приклад.
Розв’язати задачу Діріхле для напівпростору, якщо функція задана так:
.
Перейдемо до полярних координат:
.
Інтегрування по r можна виконати у скінченому вигляді, інтегрування по приводить до еліптичного інтеграла. Дослідимо стаціонарний розподіл температури на осі .
z
для точки .
y
x
15. Задача Штурма-Ліувілля.
Задача Штурма-Ліувілля формулюється так:
Розв’язати рівняння
(1)
при умовах
(2)
. (3)
- функції від ,
- числа,
- двічі неперервно – диференційовна ,
- неперервно – диференційовна ,
- неперервна на .
Маємо задачі на власні значення заданого диференціального оператора. Оскільки виписані умови є межовими, то задача Штурма-Ліувіля є крайовою, одномірною.
Підготовчий матеріал.
Якщо , то - власне значення оператора , а - власна функція.
Якщо , то його можна звести до вигляду записаного у задачі Штурма – Ліувіля
Помноживши обидві частини на функцію , отримаємо:
Щоб ліва частина мала вигляд , в останній рівності коефіцієнти мають задовольняти певній умові
проінтегруємо:
Сталу не пишемо, бо нас цікавить довільна функція, тому .
Якщо маємо рівняння ІІ-го порядку:
і - лінійно-незалежні розв’язки , то
- детермінант Вронського.
Детермінант Вронського для цього рівняння подається так:
- значення детермінанта у довільній точці.
Для рівняння Знаходимо детермінант Вронського :
Лінійне диференціальне рівняння ІІ-го порядку з правою частиною будемо розв’язувати методом варіації сталих.
- лінійно незалежні розв’язки
- загальний розв’язок рівняння без правої частини.
Нехай функції від .
Детермінант цієї системи і є детермінантом Вронського.