16. Одна спеціальна крайова задача.
Розв’язати
рівняння
при
таких умовах:
(*)
де
лінійно-незалежні
розв’язки рівняння
Розв’язання.
Метод варіації сталих:
-
Знаходимо умови на кінцях для функції
Будемо вимагати щоб дана рівність дорівнювала нулю.
Для нашого рівняння система буде така:
Функція Гріна.
0
В нових термінах сформована задача має розв’язок:
(**)
Функція
називається функцією
Гріна для
заданого рівняння.
Властивості функції Гріна.
Неперервна в квадраті.
Симетрична.
Як функція від вона задовольняє рівняння
.Похідна по від функції Гріна на діагоналі
,
має розрив першого роду з стрибком
.На сторонах квадрата функція як функція від задовольняє ті ж самі умови що і
і
.
Висновок.
Розв’язок неоднорідного рівняння при заданих крайових умовах подається формулою (**), де - функція Гріна для оператора .
Приклад 1.
Розв’язати рівняння :
ФСР:
Будуємо функцію Гріна:
-
розв’зок .
Приклад 2.
Розв’язати рівняння:
Приклад 3.
Розв’язати рівняння:
література
Основна
Араманович И. Г., Левин В. И. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1969. 288 с.
Арсенин В. Я. Математическая физика. Основные уравнения и специальные функции. М.: Наука, 1966. 368 с.
Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. М.: Наука,1976. 296 с.
Бицадзе А В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.
Годунов С. К. Уравнения математической физики. М.: Наука,1979. 392 с.
Загускин В. Л. Справочник по численным методам решения уравнений. М.: Наука, 1960. 200 с.
Кошляков С. Н., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высш. шк., 1970. 710 с.
10.Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964, 830 с.
11.Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высш. шк., 1977. 432 с.
Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961. 300 с.
Положий Г. Н. Уравнения математической физики. М. :Высш. шк., 1964.
Смирнов В. И. Курс высшей математики: В 4 т. М.: Наука, 1981. Т. 1.-Т. 4.
Смирнов М. М. Задачи по уравнениям математической физики. М.: Наука, 1975. 128 с.
Соболев С. Л. Уравнения математической физики. М.:Наука, 1966. 444 с.
Стеклов Б. А. Основные задачи математической физики. .: Наука, 1983. 432 с.
Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 724 с.
Додаткова література
19.Адамар Ж. Задача для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. М.: Наука, 1978. 352 с.
20.Бабаков И, И. Теория колебаний. М.: Наука, 1965. 200 с.
Окунєв Л. Я. Вища алгебра. К.: Наук, думка, 1950. 250 с.
Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.:ГИФМЛ, 1958, 468с.
Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа: В 2 т.М.: Наука, 1968. Т. 2. 404 с.