13. Задача Діріхле для кулі (метод функції Гріна). Знайти гармонічну в кулі функцію, яка на поверхні кулі дорівнює

1)Побудова функції Гріна.

а) Знаходимо т. А* симетричну т. А відносно кулі; О – центр кулі;

ОА ОА*= – симетричні точки,

ОА= , ОА*= *, *= .

б) Знаходимо

в).

Функція гармонічна скрізь в кулі. Тому вираз у дужках є функцією Гріна для задачі Діріхле для кулі.

• функція Гріна для задачі Діріхле для кулі.

2)Для кулі:

Знаходимо нормальну похідну від функції Гріна; на :

Після перетворення дістанемо:

Висновок.

Розв’язок задачі Діріхле для кулі подається такою формулою:

- формула Пуассона.

Знаходимо у формулі Пуассона.

14.Задача Діріхле для напівпростору.

z Розглянемо верхню частину.

Г: – поверхня не замкнена,

– зовнішня нормаль,

y – оператор диференціювання.

x

Задача.

Знайти функцію гармонічну у заданому півпросторі, яка на площині

приймає задані значення

, - функція Гріна.

I. Будуємо функцію Гріна для заданого півпростору методом симетрії.

1. Розглядаємо точку .

2. Знаходимо симетричну точку - відносно площини

3. Розглядаємо біжучу точку .

4. Знаходимо .

5. Знаходимо .

- гармонічна у півпросторі (скрізь, крім точки А).

- гармонічна (скрізь).

.

II. Знаходимо похідну від функції Гріна по зовнішній нормалі і обчислюємо похідну на межі :

III. За формулою Гріна подаємо значення функції в точці А.

. (*)

Висновок.

Розв’язок задачі Діріхле для напівпростору подається формулою (*).

Зауваження.

Оскільки інтеграл у формулі (*) невласний, то для його збіжності функція повинна задовольняти певні умови. Природною умовою є абсолютна інтегрованість цієї функції на всій площині, що означає скінченність теплоти, поданої на площину.

Приклад.

Розв’язати задачу Діріхле для напівпростору, якщо функція задана так:

.

Перейдемо до полярних координат:

.

Інтегрування по r можна виконати у скінченому вигляді, інтегрування по приводить до еліптичного інтеграла. Дослідимо стаціонарний розподіл температури на осі .

z

для точки .

y

x

15. Задача Штурма-Ліувілля.

Задача Штурма-Ліувілля формулюється так:

Розв’язати рівняння

(1)

при умовах

(2)

. (3)

- функції від ,

- числа,

- двічі неперервно – диференційовна ,

- неперервно – диференційовна ,

- неперервна на .

Маємо задачі на власні значення заданого диференціального оператора. Оскільки виписані умови є межовими, то задача Штурма-Ліувіля є крайовою, одномірною.

Підготовчий матеріал.

1. Якщо , то - власне значення оператора , а - власна функція.

2. Якщо , то його можна звести до вигляду записаного у задачі Штурма – Ліувіля

Помноживши обидві частини на функцію , отримаємо:

Щоб ліва частина мала вигляд , в останній рівності коефіцієнти мають задовольняти певній умові

проінтегруємо:

Сталу не пишемо, бо нас цікавить довільна функція, тому .

3. Якщо маємо рівняння ІІ-го порядку:

і - лінійно-незалежні розв’язки , то

- детермінант Вронського.

Детермінант Вронського для цього рівняння подається так:

- значення детермінанта у довільній точці.

4. Для рівняння Знаходимо детермінант Вронського :

5. Лінійне диференціальне рівняння ІІ-го порядку з правою частиною будемо розв’язувати методом варіації сталих.

- лінійно незалежні розв’язки

- загальний розв’язок рівняння без правої частини.

Нехай функції від .

Детермінант цієї системи і є детермінантом Вронського.