11. Метод функції Гріна для задачі Діріхле

_{1.Підготовчий матеріал.}

_{1) Градієнт:}

Нехай задано скалярне поле тоді

.

2) Похідна за напрямом.

_{3) Дивергенція.}

_{Нехай задано векторне поле :}

_тоді

.

Якщо , то в цій точці не має ні стоків, ні джерел;

Якщо , то в цій точці джерело_;

Якщо , то в цій точці сток.

в точці, показує потужність джерел чи стоків.

4) Формула Остроградського-Гаусса.

_,

_{– зовнішня одинична нормаль до поверхні.}

_{– векторне поле}

_{– замкнена поверхня, яка обмежує об’єм}

_{Зауваження: якщо об’єм обмежений двома замкненими поверхнями, одна з яких міститься усередині іншої , то формула Остроградського-Гауса записується так:}

– внутрішня нормаль до поверхні .

Теорема Гріна.

_{Якщо u і v – двічі диференційовані функції в області V, обмеженій поверхнею S, то має місце така формула:}

, де n- зовнішня нормаль до S, оператор Лапласа.

Доведення.

1. Розглянемо вектор

;

Тоді:

а) ;

б) , перший доданок цієї рівності:

Аналогічно знаходимо другий доданок; він дорівнює

Отже, .

в) За формулою Остроградського- Гаусса з урахуванням а) і б) дістаємо теорему .

Дана формула називається формулою Гріна і є основною в подальших застосуваннях.

Зауваження: Якщо є дві замкнені поверхні, розташовані одна всередині іншої, то формула Гріна є аналогічною до формули Остроградського- Гауса в цьому випадку.

12. Функція Гріна.

_{Маємо область, обмежену замкненою поверхнею Г в просторі R}³_.

_{A(x0, y0, z0 ) – фіксована точка,}

_{P(x, y, z) – біжуча точка,}

_{– відстань між цими точками.}

_{Розглянемо функцію . Вона гармонічна в області скрізь, крім точки А:}

.

О. Функцією Гріна для вказаної області називається функція G, яка має такі властивості:

_{1) , де g-гармонічна в усій області;}

_{2) .}

Теорема.

_{Розв’язок задачі Діріхле подається за такою формулою}

_{, (*)}

_{- зовнішня нормаль до (G),}

_{G-функція Гріна для цієї області.}

_{M – точка межі ( М є Г),}

_{– задана на поверхні Г функція.}

_{Зауваження:}

_{Значення гармонічної в області функції подається через значення цієї функції на межі і через нормальну похідну функції Гріна на межі. Існує аналогія між формулою Коші в теорії аналітичних функцій і формулою (*).}

_{Формула Коші: .}

_{Доведення:}

_{Проведемо сферу з центром в т. А радіуса  і позначимо її} (ця сфера лежить усередині області). Проведемо внутрішню нормаль .

_{Нехай:Ω – об’єм, обмежений двома поверхнями: Г i Sε.}

_{Запишемо формулу Гріна у цьому випадку:}

_{Покладемо в цій формулі: u– шукана функція задачі Діріхле ; v- функція Гріна.}

Функція Гріна гармонічна в області , функція - шукана гармонічна (за умовою), тому права частина дорівнює нулю ( ).

Оскільки функція Гріна на межі дорівнює нулю, а шукана функція на межі дорівнює , то :

1. .

2.

.

3. Виписуємо в явному вигляді G і знаходимо

При підстановці в попередню рівність дістаємо:

В подальшому нам необхідно перейти до границі у цій рівності, якщо . Другий доданок у цій рівності прямує до нуля, якщо , бо під інтегралом обмежена функція, площа поверхні дорівнює

Розглянемо 3-йінтеграл:

а) – обмежена, .

Таким чином, останній інтеграл прямує до нуля, якщо .

б) (теорема про середнє) =

.

якщо , остаточно дістаємо: , що і потрібно було довести.