Вычисление абсолютной и относительной погрешностей измерений при прямых измерениях

1. Абсолютная погрешность

Оценить отклонение каждого из результатов измерения от ис­тинной величины можно лишь при наличии данных большого числа измерений с использованием теории вероятности. Однако на прак­тике, в лабораторных условиях проводят 3-5 измерений. В этом случае абсолютная погрешность отдельного i-го измерения будет следующей:

|DА_i| = |А_СР - А_i|,

где А_СР - средняя величина размера А. Средняя арифметическая величина всех ½DА_i½ значений

называется абсолютной погрешностью опыта. Окончательный результат изме­рения может быть записан в виде

А = А_СР ± DА_СР,

где А - искомая величина, которая лежит внутри интервала

А_СР ± DА_СР.

Н

14

апример, если сделаем несколько измерений длины заготов­ки в столярной мастерской и получим среднее значение l_СР = 75.5 см, а среднее арифметическое абсолютной погреш­ности l_СР = 0.3 см, то результат запишется в виде

l = (75.5 ± 0.3) см.

Это означает, что истинное значение длины заготовки лежит в интервале от 75.2 см до 75.8 см. При этом не имеет смысла вы­числять среднее значение с большим числом знаков после запя­той, так как от этого точность не увеличивается.

2. Относительная погрешность

Абсолютная погрешность измерения не характеризует точ­ности проведенных измерений. Поэтому для того, чтобы сравнить точность различных измерений и величин разной размерности, находят среднюю относительную погрешность результата (Е_А). Относительная погрешность опреде­ляется отношением абсолютной погрешности к среднему арифметическому значению измеряемой величины, которая определяет­ся в процентах:

Е_А= 100%.

Относительная погрешность показывает, какая часть абсолютной погрешности приходится на каждую единицу измеренной величины. Это дает возможность оценить точность проведенных измерений, качество работы.

Так, например, пусть при измерении бруска длиной l = 1.51 см была допущена абсолютная погрешность 0.03 мм, а при измерении расстояния от Земли до Луны L = 3.64^.10⁵ км абсолютная погрешность составила 100 км. Может показаться, что первое измерение выполнено намного точнее второго. Однако о точности измерения можно судить по относительной погрешности, а она показывает, что второе измерение было выполнено в семь раз точнее первого:

E

15

_l = 100% = 0.2%

и Е_L = 100% = 0.03%.

Вычисление абсолютных и относительных погрешностей при косвенных2 измерениях

В большинстве случаев при выполнении физических экспериментов исследуемая величина не может быть измерена непосредственно, а является функцией одной или нескольких переменных, измеренных непосредственно. При косвенных измерениях абсолютная и относительная погрешности результатов измерений находятся вычислением через абсолютные и относительные погрешности непосредственно измеренных величин.

Использование формул дифференцирования

Для определения абсолютных и относительных погрешностей искомой величины при косвенных измерениях можно воспользоваться формулами дифференцирования, потому что абсолютная ошибка функции равна абсолютной ошибке аргумента, умноженной на производную этой функции, то есть полному дифференциалу функции.

Рассмотрим это более подробно. До­пустим, что физическая величина А является функцией многих переменных:

A = f (x, y, z ...).

Правило I. Вначале находят абсолютную погрешность величины А, а затем относительную погрешность. Для этого необходимо:

1) Найти полный дифференциал функции

.

2

16

) Заменить бесконечно малые dx, dу, dz, ... соот­ветствующими абсолютными ошибками аргументов Dx, Dy, Dz, … (при этом знаки "минус" в абсо­лютных ошибках аргументов заменяют знаками "плюс", так чтобы величина ошибки была максимальной):

.

Применяя это правило к частным случаям, получим:

- абсолютная погрешность суммы равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. Если X = a + b, то DX = Da + Db;

- абсолютная погрешность разности равна сумме абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого. Если X = a - b, то DX = Da + Db;

- абсолютная погрешность произведения двух сомно­жителей равна сумме произведений среднего значения первого множителя (a_CP) на абсолютную погрешность второго и сред­него значения второго множителя (b_CP) на абсолютную погреш­ность первого. Если X = а  b, то DX = a_CP  Db + b_CP  Dа. Если X = a ⁿ , то DX = n  а_CP^n-1  Dа;

- абсолютная погрешность дроби равна сумме произведения знаменателя на абсолютную погрешность числителя и числителя на абсолютную погрешность знаменателя, делен­ной на квадрат знаме­нателя. Если X = , то DX= .

3) По определению найдем относительную погрешность

.