Для получения зачета необходимо

1. Продемонстрировать преподавателю умение определять момент инерции методом трифилярного подвеса.

2. Представить отчет по установленной форме.

3

71

. Уметь отвечать на вопросы типа:

а) Может ли масса тела рассматриваться, как сосредоточенная в его центре, если требуется рассчитать момент инерции тела?

б) Два диска одинакового веса и толщины сделаны из металлов различных плотностей. Какой из них обладает большим моментом инерции?

в) Требуется определить момент инерции тела сложной геомет­рической формы. Математический расчет в таком случае становит­ся затруднителен. Укажите способ, с помощью которого момент инерции тела мог бы быть определен экспериментально.

г

Рис. 4

) На рис. 4 представлено тело, ось вращения которого прохо­дит через точку О, перпенди­кулярную чертежу. Как опре­делить момент силы F, при­ложенной в точке А (B)? Как на­правлен вектор момента силы, вектор момента импульса?

д) Два сплошных цилиндра, сделанных из разных материалов, имеют одинаковые массы и радиусы основания. Сравните их момен­ты инерции относительно осей симметрии.

е) Два цилиндра имеют одинаковые размеры и массы. Как, поль­зуясь наклонной плоскостью, определить, какой из цилиндров сплошной, какой полый?

ж) Относительно какой из двух осей момент инерции больше: относительно оси, проходящей через центр масс, или относитель­но оси, не проходящей через центр масс?

з) Определите момент инерции линейной молекулы азота, если известно, что длина связи атомов равна 109.4 нм;

и

72

) Определите длину связи в молекуле дейтерия, если известно, что момент инерции молекулы равен 9.2×10^-42 кгм².

к) Рассчитайте момент инерции и кинетическую энергию электрона, вращающегося по первой боровской орбите, если радиус орбиты равен 0.5 Å, а частота обращения электрона вок­руг ядра - 2×10¹⁵ с^-1.

Работа № 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ

НЕ­КО­ТО­РЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ

КРУ­ТИЛЬ­НЫХ КО­ЛЕ­БА­НИЙ

Цель работы: экспериментальное определение момента инерции тела, если момент инерции другого тела известен.

Принадлежности: штатив, упругий подвес, прямоуголь­ный брусок, кольцо, весы, разновески, штанген­циркуль, секундомер.

Вопросы, знание которых обязательно для допуска к выполнению работы

1. Угловая скорость. Связь между угловой скоростью тела и ли­нейной скоростью его точек. Единицы измерения.

2. Угловое ускорение. Связь между угловым ускорением и линейным ускорением его точек. Единицы измерения.

3. Что называется моментом силы? Чем обусловлены его величина и направление? Единицы измерения.

4. Что называется моментом инерции твердого тела? Единицы изме­рения.

5. Основной закон динамики вращательного движения.

6. Что называется модулем кручения подвеса?

7. В чем отличие крутильных колебаний от колебаний физического маятника?

8. Под действием какой силы совершаются крутильные колебания в данной работе?

9. Какой принцип положен в основу вычисления момента инер­ции твердого тела в данной работе?

10. Расскажите порядок выполнения работы.

ВВЕДЕНИЕ

П

72

74

73

ри рассмотрении вращения твердого тела с динамической точ­ки зрения понятие о силах заменяется понятием о моментах сил М, понятие о массе - понятием о моменте инерции J. Рассмот­рим движение материальной точки массой m по окружности радиу­са r (рис. 1). Материальная точка движется под действием силы , направленной по касательной к окружности. Эта сила сооб­щает точке тангенциальное ускорение , и второй закон Ньютона принимает вид

. (1)

П оскольку угловое ускорение связано с линейным соотноше­нием _ = br, то (1) принимает вид

F = mrb. (2)

Умножим обе части уравнения на r, получим

F

Рис. 1

r = mr²b. (3)

Величина Fr = M называется мо­ментом силы и численно равна про­изведению силы на плечо силы - длину перпенди­куляра, опущенного из центра вра­щения на линию действия силы. Момент силы - величина векторная, его направление определяется правилом правого винта.

Скалярная величина, численно равная произведе­нию массы материальной точки на квадрат расстояния от ее центра вращения J = mr², называется моментом инерции точки. Таким образом, урав­нение (3) запишется в виде

(4)

и носит название основного закона динамики вращательного движения. Из (4) видно, что и совпадают по направлению.

Момент инерции твердого тела относительно оси вращения можно вычислить, разбив его на бесконечно большое число очень ма­лых элементов Dm_i, которые можно рассматривать как материаль­ные точки. Тогда выражение для момента инерции элемента массы Dm_i, находящегося на расстоянии r_i от оси вращения, будет DJ_i = Dm_ir_i² (рис.2), а момент инерции всего тела:

(5)

или

dV

М

Рис. 2

оменты инерции тел простой формы могут быть легко вычислены. В таблице 1 приводятся зна­чения моментов инерции некоторых тел, рассчитанные относительно оси, проходящей через центр их масс. Эта ось является также осью симметрии тела.

Таблица 1

Таблица моментов инерции

№ п/п	Форма тела	Формула для определения момента инерции тела J
1	Однородный тонкий сплошной стержень длиной l
2	Однородный сплош­ной ци­линдр радиуса r и дли­ной l (поперечная ось)
3	Однородный сплошной ци­линдр радиуса r
4	Однородный сплошной бру­сок прямоугольного сече­ния (a b)
5	Кольцо с внутренним и внешним радиусами r1 и r2
75 6	Однородный сплошной шар радиуса r.
7	Линейная двух­атом­ная молекула с массами атомов m1 и m2 на рас­стоя­нии r	J =
8	Линейная трех­атомная молекула с массами атомов m1, m2, m3 на рас­стоя­ниях r и r¢, соот­вет­ственно Если m1 = m3 и r = r¢	J = (r + m = m1+m2+m3 J = 2m1r2

Момент инерции тела любой фор­мы относительно оси, проходя­щей через центр масс, можно найти опытным путем, исходя из за­кона колебаний крутильного маятника, если имеется другое тело, момент инерции которого относительно оси, проходящей через центр масс, известен. Момент инерции тела можно определить, измеряя период крутильных колебаний этого тела. Для этого исследуемое тело подвешивают к концу подвеса, другой конец которого зажат в штативе. Если к телу приложить пару сил в горизонтальной плоскости, то тело повернется на угол φ. Возникающие при этом силы упругости подвеса будут стремиться вернуть тело в исходное положение. Если затем систему предоставить самой себе, то она будет совершать гармонические колебания (крутильные колебания), период которых определяется моментом инерции системы и модулем кручения подвеса.

М

76

омент сил упругости пропорционален φ - угловому смещению и направлен в сторону, противоположную смещению, то есть:

M = – Cφ, (4)

где C - модуль кручения подвеса.

По второму закону Ньютона для вращательного движения имеем:

J·β = - C·φ, (5)

поскольку

β = , (6)

то

= - . (7)

Полагая, что

= ω², (8)

получим уравнение гармонического колебательного движения, круговая частота которого ω.

Учитывая, что

ω² = ,

из соотношения (8) можно найти период колебаний крутильного маятника

. (9)

Для упругого подвеса С - величина постоянная, численно равная моменту силы, вызывающему закручивание подвеса на еди­ничный угол. Момент инерции тела можно определить двумя спосо­бами:

1

78

. Измеряют периоды крутильных колебаний двух тел, подве­шенных на один и тот же подвес, момент инерции одного из которых известен, а второго - нужно определить.

2

77

. Измеряют период колебаний тела, момент инерции которо­го известен, а затем на это тело помещают другое с искомым мо­ментом инерции и определяют период колебаний системы.

Порядок выполнения работы

1. Определение момента инерции бруска (1 способ).

а) На подвес, закрепленный в штативе, подвесить брусок так, чтобы подвес совпал с геометрической осью бруска. Повер­нуть брусок на некоторый угол и отпустить. Определить время 15-20 колебаний, а затем вычислить период колебаний бруска Т_б. Опыт повторить 5 раз.

б) Затем на подвес подвесить кольцо. Определить время 15-20 колебаний и вычислить период колебаний кольца Т_к.. Опыт повторить 5 раз.

в) По формуле , где m - масса, R₁ и R₂ - внешний и внутренний радиусы кольца, вычислить J_к (предварительно необходимо измерить не менее 5 раз R₁ и R₂ и взвесить кольцо). Если толщина кольца мала по сравнению с ради­усом, то J_к = mR², где R = (R₁+R₂)/2.

г) Учитывая, что и , на­ходим, что J_б =J_кТ_б²/Т_к². Подставляя в последнее выражение Т_б, T_к и J_к, вычислить J_б.

д) Результаты измерений и вычислений занести в таблицу 1 и вычислить абсолютную и относительную погрешности измерений.

Таблица 1

№ п/п

nб

tб, с

Тб, с

DТб, с

nк

tк, c

Tк, c

Rк1, м

DRк1, м

Rк2,м

DRк2, м

m, кг

1

2

3

4

5

Средн. знач-е

е) Сравнить экспериментально полученное значение J_б с рас­четным, учитывая, что J_б = m_б(a² +b²)/12 (a и b - длина и тол­щина бруска, определенные по 5 измерениям. Сравнение удобно провести в виде .

2. Определение момента инерции кольца (2 способ).

а) На упругом подвесе, закрепленном в штативе, подвесить прямоугольный брусок со сторонами a, b, c так, чтобы нить была перпендикулярна длине бруска. Затем, определяя время 15-20 полных крутильных колебаний, найти период колебаний Т_б. Опыт повторить 5 раз.

б) После этого на брусок поместить кольцо и определить период колебаний Т_б+к, системы кольцо-брусок. Опыт повторить 5 раз.

в) Момент инерции системы равен сумме моментов инерции бруска и кольца в отдельности: J_б+к =J_б + J_к. Отсюда

J_к = J_б+к - J_б (10)

согласно (9)

; .

Откуда

. (11)

Из формул (10) и (11) получаем:

или

Момент инерции бруска вычисляют по формуле J_б = m_б(a² + b²)/12 по средним значениям из 5 измерениям.

г

79

) Полученные опытным путем результаты сравните с теоре­тическими, зная, что момент инерции кольца можно рассчитать по 5 измерениям. Сравнение удобно провести в виде .

д) Результаты измерений и вычислений занести в таблицу 2 и вычислить абсолютную и относительную погрешности измерений.

Таблица 2

№ п/п

nб

tб, с

Тб, с

DТб, с

nб+к,

tб+к, c

Тб+к, с

mб, кг

a, м

Da, м

b, м

Db, м

1

2

3

4

5

Среднее значение

Рекомендуемая литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики. T. I. - М.: Наука, 1989.

2. Архангельский М.М. Курс физики: механика. - М.: Просвещение, 1975. C. 169-193.

3. Ливенцев Н.М. Курс физики.- М.: Высшая школа, 1974. §11-13.

4. Ремизов А.Н. Курс физики для медицинских институтов. - М.: Высшая школа, 1976. Гл. 3.