12.5. Массообмен с тонкой пленкой жидкости

В промышленных аппаратах часто используется массообмен с тонкой пленкой жидкости, стекающей по твердой поверхности. При этом массопередача может происходить как между пленкой и твердой фазой, так и между пленкой и газовой фазой, контактирующей с внешней поверхностью пленки. На примере массообмена с жидкой пленкой покажем возможность нахождения коэффициентов массоотдачи на основе исчерпывающего описания процессов переноса, а также с использованием упрощенных моделей.

Массоотдача в газовой фазе Рассмотрим массопередачу между газом, движущимся по вертикальной трубе круглого сечения, и жидкой пленкой, стекающей по внутреннему периметру трубы. Возможны следующие варианты направления движения фаз: нисходящий прямоток (газ и пленка движутся вниз), противоток (газ движется вверх, а пленка вниз), восходящий прямоток (пленка движется вверх, увлекаемая потоком газа). Если ввести среднемассовую концентрацию по аналогии со среднемассовой температурой (9.91), то все соотношения, описывающие массоотдачу в газовой фазе, будут аналогичны соотношениям для теплоотдачи в трубе (раздел 9.2.2). Отличие будет заключаться лишь в том, что диаметр проходного сечения для газа необходимо уменьшить на толщину пленки, а скорость газа рассматривать относительно границы раздела фаз газ – жидкость (раздел 5.4.3):

, (12.151) , (12.152)

, (12.153)

где d внутренний диаметр трубы,  толщина пленки, средняя скорость газа относительно границы раздела фаз газ жидкость, скорость движения границы раздела фаз газ жидкость относительно стенок трубы.

В режиме слабого взаимодействия газа с жидкостью, при котором поток импульса через границу раздела фаз газ жидкость значительно меньше потока импульса на границе жидкость стенка, скорость может определяться из соотношений для гравитационного течения пленки. При сильном взаимодействии для нахождения необходимо рассматривать импульсопередачу из газовой в жидкую фазу (раздел 5.4.3). На практике для тонких пленок при <<d зачастую пренебрегают отличиями в движении газа, вызванными наличием пленки, используя для расчета массоотдачи соотношения, аналогичные теплоотдаче, без учета (12.151) (12.153).

Массоотдача в ламинарной безволновой пленке. Пленку будем рассматривать гидродинамически стабилизированную, в режиме слабого взаимодействия с газовым потоком. В этом случае стационарный массообмен в ней описывается уравнением

, (12.154)

где x вертикальная (продольная) координата, совпадающая с направлением движения пленки, y поперечная координата. Вследствие малой толщины пленки (<<d) даже при ее течении в круглой трубе задачу можно рассматривать как плоскую в декартовых координатах. Если считать, что является известной функцией от y, а = const, то уравнение (12.154) имеет точное решение и поле концентраций с_i(x,y) представляется в виде бесконечного ряда, содержащего параметры, определяемые из граничных условий. Однако в некоторых случаях можно получить аналитическое решение.

Рассмотрим простейший с математической точки зрения случай: на внешней границе пленки распределяемый компонент абсорбируется из большого обьема газовой фазы, а на внутренней адсорбируется стенкой; все сопротивление массопередачи сосредоточено в жидкой фазе, т.е. на границе с газом концентрация распределяемого компонента i в жидкости равновесна с его концентрацией в газе и постоянна с_i==const, а на границе со стенкой с_i=0. В этом случае при стабилизированном массообмене с_i не будет зависеть от координаты x и левая часть уравнения (12.154) обратится в ноль. Совместив начало координаты y с границей раздела газ жидкость, представим упростившуюся задачу в следующем виде

, (12.155)

; . (12.156)

Этот случай аналогичен теплоотдаче при пленочной конденсации пара на вертикальной стенке с постоянной температурой (раздел 9.2.3) или теплопроводности через плоскую стенку (9.5), (9.6). Проинтегрировав уравнение (12.155) с граничными условиями (12.156), получим линейный профиль концентрации и, следовательно, по (1.23) постоянный поток вещества j_i,y = const. Все эти условия соответствуют пленочной модели массоотдачи, толщина пограничного слоя при этом совпадает с толщиной пленки и коэффициент массоотдачи _i определяется по (12.133):

или . (12.157)

Это один из немногих случаев, когда пленочная модель адекватно описывает реальный процесс массоотдачи.

Рассмотрим более сложный, но более часто встречающийся на практике случай: абсорбцию из газа жидкой пленкой на участке массообменной стабилизации при условии, что распределяемый компонент не успевает достаточно глубоко проникнуть вглубь пленки. Последнее условие позволяет рассматривать только область y<<, в которой (см. раздел 5.4.1). Совместим начало координаты x с поперечным сечением пленки, в котором возникает контакт газовой фазы с жидкой и начинается процесс абсорбции. Граничные условия с_i(x,y) будут иметь вид

. (12.158)

От пространственной координаты x можно перейти ко времени t:

. (12.159)

С использованием новой переменной уравнение (12.154) приобретет вид (12.142), а граничные условия (12.158) совпадут с (12.143). Следовательно, процесс массоотдачи в данном случае можно описать с помощью модели проницания. Достаточно в решения (12.144) (12.150) подставить (12.159). Локальный и средний по длине коэффициенты массоотдачи примут вид

, (12.160)

. (12.161)

Условиями применимости данного решения являются малость толщины диффузионного пограничного слоя (12.150) по сравнению с толщиной пленки, а также . Если считать, что эти условия с достаточной точностью выполняются при _д /  < 0,1, то

,

или . (12.162)

Коэффициенты массоотдачи (12.160) (12.161) можно представить в безразмерном виде при условии (12.162):

, (12.163)

. (12.164)

Напомним, что эти соотношения получены для начального участка массообменной стабилизации. Для описания стабилизированного массообмена в пленке обычно используют по-иному определенные коэффициенты массоотдачи:

, (12.165) , (12.166)

. (12.167)

Средняя движущая сила массоотдачи в (12.167) находится как среднелогарифмическая величина по аналогии с (4.31). На начальном участке при _д /  << 0,1 с_i  , _i  _i. Однако при увеличении различие между _i и _i может быть весьма существенным.

Точное решение уравнения (12.154) с граничными условиями (12.168) может аппроксимироваться следующими зависимостями:

; (12.168)

; (12.169)

. (12.170)

В пределе при больших значениях критерия Фурье стабилизированная массоотдача от границы газжидкость к ламинарной пленке характеризуется постоянным критерием Нуссельта =3,41.

Последнее соотношение в (12.168) выражает отсутствие переноса компонента i через границу пленки со стенкой. Можно рассмотреть и противоположный случай: распределяемый компонент переходит из твердой фазы в пленку, а границу пленка газ не пересекает (экстрагирование, растворение стенки). Рассмотрим начальный участок массообменной стабилизации. Ось у направим от стенки к границе пленки с газом. Тогда задача будет состоять в решении уравнения (12.154) с граничными условиями (12.158). Однако в отличие от рассмотренного выше случая абсорбции нет возможности использовать модель проницания, так как нельзя принять допущения о постоянстве скорости W_x вблизи твердой поверхности.

Имея в виду параболический профиль скорости в ламинарной пленке (5.127), более разумно допущение ее линейной зависимости при y << :

. (12.171)

C учетом этого уравнение (12.154) примет вид

. (12.172)

Процедура его решения аналогична изложенной при решении уравнения нестационарной теплопроводности в полубесконечном слое (раздел 9.4). Осуществив переход к новым безразмерным переменным  и , дифференциальное уравнение с частными производными (12.172) трансформируется в обыкновенное:

, (12.173)

, (12.174) , (12.175)

. (12.176)

Учитывая, что

, (12.177)

где Г(z) табулированная в справочниках гамма-функция, решение может быть представлено в виде

, (12.178)

. (12.179)

Зная поле концентраций (12.178), аналогично (12.146) (12.150) получим поле диффузионных потоков, локальные и средние коэффициенты массоотдачи, а также толщину диффузионного слоя:

, (12.180)

, (12.181)

, (12.182)

, (12.183)

. (12.184)

Ограничив аналогично (12.162) область применимости данных соотношений условием _д/ < 0,1, его и критериальную форму коэффициентов массоотдачи можно представить в виде

или , (12.185)

, (12.186)

. (12.187)

Использовав коэффициенты массоотдачи _i , определяемые по (12.165), точное решение уравнения (12.154) с параболлическим профилем скорости и граничными условиями (12.168) для массоотдачи от границы стенки в ламинарную пленку может быть аппроксимировано:

; (12.188)

. (12.189)

Проанализируем наличие аналогии переноса массы и других субстанций в жидкой ламинарной пленке, стекающей по вертикальной стенке под действием силы тяжести. Предполагать гидродинамическую аналогию массообмена в данном случае не следует вследствие отличия уравнений движения (5.124) и конвективной диффузии (12.154). В первом присутствует источник импульса, обусловленный силой тяжести, а во втором таковой отсутствует. Соответственно, в области стабилизиро­ванного импульсо - и массообмена пленки со стенкой Nu_г, = 3  Nu_д, = 1,88 при любых значениях Pr_д. Импульсоотдача от границы с газом к пленке в режиме слабого взаимодействия вообще пренебрежимо мала. Идентичность дифференциальных уравнений переноса тепла и массы в пленке предопределяет возможность аналогии при идентичности граничных условий. Рассмотренный первым случай одновременной абсорбции распределяемого компонента пленкой и его адсорбции стенкой идентичен по граничным условиям пленочной конденсации пара (9.143), (12.157) и Nu_т, = Nu_д, = 1. Результаты, полученные для массоотдачи от границы с газом к пленке, можно применить для теплоотдачи от газовой фазы к пленке при нулевом потоке тепла через стенку, что реально воплощается при надежной наружной тепловой изоляции трубы. Соотношения для массоотдачи от стенки к пленке могут использоваться для описания теплоотдачи при нулевом потоке тепла на границе пленка газ, что сложно реализуемо, особенно в области стабилизированного теплообмена. Однако эти результаты применимы для теплообмена между двумя параллельными пластинами с постоянной температурой, расположенными на расстоянии 2, и движущейся между ними средой. Тепловой поток через поверхность, равностоящую от обеих пластин, будет равен нулю из условия симметрии.

Массоотдача в турбулентной пленке. Рассмотрим массоотдачу в области стабилизированного импульсо- и массообмена в турбулентной пленке, стекающей под действием силы тяжести по вертикальной стенке в режиме слабого взаимодействия с газом.

Начнем с массопередачи между стенкой и пленкой. Для нахождения коэффициента массоотдачи в пленке воспользуемся моделью турбулентного диффузионного пограничного слоя Ландау-Левича, предполагая, что все сопротивление массоотдачи сосредоточено в вязком подслое вблизи стенки, а вне его концентрация не меняется вдоль оси y. В соответствии с (12.139), (12.141), (5.137) и (5.151) получим

(12.190)

. (12.191)

Коэффициент трения Фаннинга для турбулентной пленки находится из соотношения (5.148) или (5.157). Учитывая, что Nu_г, определяется формулой (5.154), гидродинамическая аналогия массообмена в данном случае, на первый взгляд, отсутствует. Тем не менее приближенная гидродинамическая аналогия, как и для теплообмена в трубе, наблюдается. Соотношение (12.191) можно получить с использованием (9.82), справедливого как для плоского пограничного слоя, так и для трубы:

. (12.192)

Полагая Pr_д >>1, несложно из (12.192) получить (12.191). Если значение критерия Прандтля невелико, то следует пользоваться соотношением (12.192), в том числе и для теплообмена стенки с пленкой.

Рассмотрим теперь массопередачу между пленкой и газовой фазой. Для нахождения коэффициента массоотдачи в пленке также используем модель Ландау-Левича. При этом необходимо знать величину А в (12.138) для свободной поверхности. Она может быть определена из корреляции для D_т, рекомендованной в [26]:

, (12.193)

, (12.194)

. (12.195)

Для массоотдачи от границы газ жидкость к турбулентной пленке в режиме слабого взаимодействия гидродинамическая аналогия, даже приближенная, отсутствует:

.

Итак, рассмотрена массоотдача в ламинарной безволновой и турбулентной пленке в режиме слабого взаимодействия с газом. При ламинарном волновом течении пленки 3 < Re_ < 300 коэффициенты массоотдачи от границы газ жидкость к пленке оказываются большими по сравнению с величинами, найденными из соотношений для ламинарной безволновой пленки.

В режиме сильного взаимодействия движение газа оказывает влияние на массоотдачу в пленке. В случае прямотока увеличение скорости газа приводит к возрастанию скорости жидкости и коэффициентов массоотдачи. Для противотока наблюдается обратная картина. В режиме сильного взаимодействия, когда основным источником импульса в пленке становится сила трения с газом, а не сила тяжести (_жg/^г_yx0), может наблюдаться приближенная гидродинамическая аналогия массоотдачи в пленке, разумеется, при идентичности граничных условий.