12.4. Упрощенные модели массоотдачи

Как показано в главе 4, наиболее строгое и общее выражение для локального коэффициента массоотдачи в двухкомпонентных смесях имеет вид

. (12.132)

Его использование предполагает знание характера изменения коэффициента турбулентной диффузии D_т(y) и относительного диффузионного потока (y) в пограничном слое. Для нахождения D_т(y) вблизи твердых поверхностей можно воспользоваться моделью пристенной турбулентности Прандтля (9.50) и степенной зависимостью в области вязкого подслоя (9.69), полагая D_т(y)_тa_т. Однако для массоотдачи через свободную (подвижную) поверхность контакта фаз в системах газ жидкость, жидкость жидкость такой универсальной модели не существует. Определение требует совместного решения уравнений движения, неразрывности и конвективной диффузии, что возможно лишь для ограниченного числа простейших случаев (см. нахождение теплового аналога (y) для трубы и пограничного слоя на плоской пластине). Поэтому для определения коэффициента массоотдачи иногда пользуются упрощенными моделями.

Пленочная модель (Нернст, Льюис, Уитмен). Предполагается, что вблизи межфазной поверхности располагается тонкая неподвижная или ламинарно движущаяся пленка толщиной _э, в которой сосредоточено все сопротивление массоотдачи. Таким образом, эта пленка представляет собой диффузионный пограничный слой. Предполагается также неизменность диффузионного потока поперек слоя =1. Тогда из (12.132) имеем

. (12.133)

Параметром модели является эффективная толщина пленки _э, которая в рамках самой модели не определяется, что является существенным недостатком. Кроме того, соотношением (12.133) устанавливается линейная связь коэффициентов массоотдачи и молекулярной диффузии, что для многих случаев не подтверждается на практике. Устранить этот недостаток можно, предположив зависимость _э от . Данная модель является слишком упрощенной и пригодна в основном лишь для качественного анализа.

Модель турбулентного диффузионного пограничного слоя Ландау - Левича. Модель применима при больших значениях диффузионного критерия Прандтля, которые наблюдаются для большинства жидкостей (Рr_д10³). В этом случае можно допустить, что все сопротивление массоотдачи сосредоточено в вязком подслое толщиной _1,г, в чем нетрудно убедиться, сопоставив величины слагаемых в знаменателе соотношения типа (9.80) Изменение диффузионного потока в пределах вязкого подслоя незначительно, что позволяет допустить =1. Использовав степенной закон затухания турбулентных пульсаций в вязком подслое, из (12.132) получим:

, (12.134)

где m = 3 для систем с твердой фазой и m = 2 для систем со свободной межфазной поверхностью, А некоторый коэффициент, не зависящий от y.

Пусть m = 2, тогда проинтегрировав (12.134), можно получить

. (12.135)

Несложно показать, что

. (12.136)

Следовательно,

. (12.137)

При значениях Pr_д > 200 с погрешностью менее 5 % можно заменить

,

тогда . (12.138)

Для m = 3 аналогичные преобразования дают

. (12.139)

Величина А с использованием модели пристенной турбулентности может быть найдена из условия равенства _i по аналогии с соотношением (6.79) при Pr_д >> 1 и (12.139):

, (12.140)

. (12.141)

Данная модель применима для количественного описания массоотдачи в жидкой фазе.

Модель проницания (Хигби). Предполагается нестационарный молекулярный массоперенос в слой неограниченной толщины, неподвижный относительно границы раздела фаз. Процесс будет описываться вторым законом Фика (2.29):

(12.142)

с начальными и граничными условиями для c_i(t, y):

. (12.143)

Учитывая полную аналогию рассматриваемой задачи с нестационарным нагревом полубесконечного слоя (раздел 9.4), можно записать соответствующее (9.187) решение, заменив температуру концентрацией, а коэффициент температуропроводности коэффициентом диффузии:

, (12.144)

. (12.145)

Зависимость идентична (), изображенной на рис. 9.16. с_i(y) при различных t приведена на рис. 12.5. Зная профиль концентраций, можно найти поток вещества, мгновенный и средний по времени коэффициенты массоотдачи:

, (12.146)

, (12.147) , (12.148)

. (12.149)

Можно определить и толщину диффузионного пограничного слоя как расстояние от границы раздела фаз, на котором = 0,01:

. (12.150)

Толщина диффузионного пограничного слоя пропорциональна квадратному корню из коэффициента диффузии и увеличивается с течением времени.

На рис. 12.5 показан профиль концентраций для различных моделей массоотдачи.

Рис. 12.5. Профили концентраций в диффузионном пограничном слое для различных моделей массоотдачи: 1 пленочной; 2 турбулентного пограничного слоя Ландау-Левича; 3 проницания

Модель проницания может применяться для массоотдачи в слой ограниченной толщины, но толщина слоя при этом должна быть существенно больше _д, что в соответствии с (12.150) накладывает ограничение на продолжительность процесса. Расширяет сферу применения данной модели предположение о возможности, по истечении времени контакта t_к, замещения приграничного слоя элементами из ядра фазы с однородной концентрацией. Так, в насадочном аппарате при стекании жидкой пленки с одного элемента насадки на другой можно допустить ее полное перемешивание. В этом случае в качестве времени контакта t_к можно рассматривать время стекания пленки по отдельному элементу насадки.

Модель обновления поверхности (Данквертс, Кишиневский). Как и в модели проницания, предполагается нестационарный массоперенос к неподвижному относительно границы раздела фаз слою. Однако допускается, что отдельные элементы приграничного слоя периодически замещаются другими, подводимыми за счет турбулентных пульсаций из ядра фазы, причем время контакта элементов с поверхностью может быть различным. Коэффициент массоотдачи может рассчитываться по (12.149), в котором величина t_к заменяется на t_cp среднее время контакта элемента слоя с межфазной поверхностью. Существуют модификации модели обновления поверхности. Одна из них предполагает дополнительный учет турбулентного переноса массы за время контакта (Кишиневский), другая использование вместо среднего времени обратной величины скорости обновления поверхности s. Недостатком модели обновления поверхности является наличие неизвестных параметров t_cp, s.