8.3.2. Решение игры 2×2 в смешанных стратегиях геометрическим методом

Пусть игра задана платежной матрицей . По оси абсцисс отложим единичный отрезок А₁ А₂, где точка А₁ (0, 0) изображает стратегию А₁, А₂ (1, 0) – стратегию А₂, а каждая промежуточная точка S_A этого отрезка изображает смешанную стратегию первого игрока P = (p₁, p₂), где p₁– расстояние от точки S_A до A₂, p₂–расстояние от точки A₁до S_A. Выигрыш игрока A будем откладывать на вертикальных отрезках (рис.1).

Случай 1. Если игрок B применит стратегию В₁, то выигрыш игрока A при стратегии А₁ равен а₁₁, поэтому на оси ординат отложим отрезок А₁В₁ = а₁₁. При применении игроком A стратегии А₂ выигрыш равен а₂₁, отложим этот отрезок на перпендикуляре из точки А₂, обозначим полученную точку В₁'. Ордината любой точки М₁ отрезка В₁В₁^′ равна среднему выигрышу игрока A при применении смешанной стратегии S_A (действительно, этот выигрыш равен математическому ожиданию случайной величины, т.е. a₁₁p₁ + a₂₁p₂). Запишем уравнение прямой В₁В₁^′:

, т. е. ,

тогда при x = p₂ получим .

Рис.1. Геометрическое изображение игры 2х2, относительно игрока А

Случай 2. Если игрок B применяет стратегию В₂, то аналогично откладываем отрезки а₁₂ и а₂₂ и получаем отрезок В₂В₂^′. Ордината любой точки М₂ отрезка В₂В₂^′ – выигрыш игрока A, если A применяет смешанную стратегию S_A, а B – стратегию В₂.

Запишем уравнение прямой В₂В₂^′:

, тогда при x = p₂ получим .

Построим нижнюю границу выигрыша игрока А – ломаную В₁ NВ₂^′. Ординаты точек этой ломаной показывают минимальные выигрыши игрока А при использовании им любой смешанной стратегии. Оптимальное решение игры определяет точка N, в которой выигрыш игрока А принимает наибольшее значение. Ордината точки N равна цене игры.

Для ее нахождения необходимо решить систему двух уравнений прямой В₁В₁^′ и прямой В₂В₂^′.

Проекция этой точки на ось ОХ показывает оптимальную стратегию (р₁, р₂).

Аналогично находится оптимальная стратегия Q = (q₁ , q₂) игрока B, только в соответствии с принципом минимакса надо находить верхнюю границу выигрыша, т. е. строить ломаную А₂NА₁^′ и брать точку N с наименьшей ординатой.

Абсцисса точки N определяет оптимальную стратегию игрока B, т. е. Q = (q₁ , q₂).

Рис.2. Геометрическое изображение игры 2х2, относительно игрока B

Пример№8

Решить игру, заданную платежной матрицей , графоаналитическим способом.

Решение:

Нижняя цена игры α = 1,5, верхняя цена игры β = 2. Так как, α≠β, то седловой точки нет. Строим геометрическое изображение игры, относительно игрока А.

Так как a₁₁ = 1,5, a₂₁ = 2  строим точки B₁(0;1,5) и B₂(1;2), соединяем их отрезком. Так как a₂₁ = 3, a₂₂ = 1 строим точки B₂(0;3) и B₂’(1;1), соединяем их отрезком.

Рис.3. Геометрическое изображение игры 2х2, относительно игрока А

Уравнение прямой В₁В₁^′:

, т. е. y = 0,5x + 1,5;

уравнение В₂В₂^′:

, т. е.  y = 3-2x.

Найдем точку N пересечения прямых В₁В₁^′ и В₂В₂^′, для чего решим систему уравнений:

0,5x + 1,5=3-2x; 2,5х=1,5; х=0,6; у=1,8,

т. е. N(0,6; 1,8),

откуда p₂= 0,6; p₁= 0,4; γ = 1,8 – цена игры.

Аналогично строим точки А₁(0; 1,5) и А₁^′(1;3), А₂(0; 2) и А₂^′(1; 1) и находим точку M пересечения прямых А₁А₁^′ и А₂А₂^′.

Рис.4. Геометрическое изображение игры 2х2, относительно игрока B

Ответ: смешанная стратегия игрока А: P_A= (0,4; 0,6), игрока В: Q_B = (0,8; 0,2); цена игры 1,8.