§ 3. Модуль действительного числа
Определение 3.1. Модуль (абсолютная величина) действительного числа х обозначается | х| и определяется следующим образом:
Модуль числа х равен расстоянию от точки х до начала отсчёта 0.
Свойства модуля
Для любого действительного числа х выполняются следующие неравенства и равенства:
1о.
Доказательство.
2о. Пусть а>0, тогда
Доказательство.
3о. Пусть а>0, тогда
4о.
Доказательство.
5о.
Доказательство.
6о.
7о.
Доказательство 6о и 7о вытекает из правил умножения и деления действительных чисел и Опр.3.1.
§ 4. Промежутки
Определение 4.1. Пусть a,b – действительные числа, причём a<b. Промежутком (числовым промежутком) называется каждое из следующих множеств
отрезок
интервал
полуинтервал
или
полупрямая (луч)
или
открытая полупрямая (открытый луч)
или
прямая
Множество [a;b] называется отрезком с началом a и концом b; (a;b) – интервалом с началом a и концом b; [a;b), (a;b] – полуинтервалом с началом a и концом b; любое число х (a<x<b) называется внутренней точкой этих промежутков.
Множества
называются
бесконечными промежутками.
Изобразим эти множества на числовой прямой:
[a;b]
[a;a]
(a;b)
[a;b)
(a;b]
Определение 4.2. Окрестностью точки а называется любой интервал, содержащий точку а.
Геометрически окрестность изображают следующим образом:
Определение 4.3. Пусть
.
-окрестностью
точки а называется интервал (а
–
;
а +
),
т.е. множество всех действительных х,
удовлетворяющих неравенству |х
– а|<
.
При этом число
называется радиусом окрестности,
а точка а – центром окрестности.
Обозначают U(a;
).
Геометрически -окрестность изображают следующим образом:
Определение 4.4. Пусть
.
Выколотой
-окрестностью
точки а называется интервал (а
–
;
а +
)
без точки а, т.е. множество всех
действительных х, удовлетворяющих
неравенству 0<|х – а|<
.
Обозначают
Геометрически
изображают
следующим образом:
Пример. Построить на координатной прямой U(2; 0,5)
§ 5. Ограниченные и неограниченные множества
В этом параграфе будем рассматривать только числовые множества и кратко будем называть их «множества».
Определение 5.1. Множество Х
называется ограниченным сверху
(снизу), если существует такое
число M (m),
что
(
).
Число M (m),
называется верхней (нижней) границей
множества Х.
Пример 5.1. Найти верхнюю и нижнюю границы множеств:
Определение 5.2. Множество Х
называется ограниченным, если
оно ограничено и сверху и снизу, т.е.
существуют такие числа M
и m , что
.
В противном случае оно называется
неограниченным.
Это определение равносильно следующему
Определение 5.3. Множество Х
называется ограниченным, если
существует такое число M
>0, что
.
Множество Х называется неограниченным,
если для любого числа M
>0 существует такое число
,
что
.
Определение 5.4. Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) границ ограниченного сверху (снизу) множества Х называется верхней (нижней) гранью множества Х и обозначается sup X (inf X), читается supremum (infimum).
Свойства верхней и нижней граней множества
1о. Если a* = sup X, то
1)
выполняется неравенство
.
2)
такое,
что выполняется неравенство
.
2о. Если
=
inf X
то
1)
выполняется неравенство
.
2)
такое,
что выполняется неравенство
Теорема 5.1. Всякое ограниченное сверху (снизу) множество имеет верхнюю (нижнюю) грань и при том только одну.
Замечание 5.1. Если множество Х неограниченно сверху (снизу), то будем считать sup X =+ (inf X =– ).
В заключение приведем
Аксиому Архимеда. Каким бы ни было действительное число k, всегда есть натуральное число n, которое больше k.
Из этой аксиомы следует, что множество натуральных чисел неограниченно.
Пример 5.2. Найти верхнюю и нижнюю грани множеств: