Основная литература

1. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. - М.: Наука, 1979.-662 с.

2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа: В 2Т.-М.: Наука, 1968.- 440 с., 464 с.

3. Ильин В.А., Позняк З.Г. Основы математического анализа: В 2Т.-М.: ФИЗМАТЛИТ., 2002.-648 с., 464 с.

4. Бохан К.А., Егоров И.А., Лащенков К.В. Курс математического анализа: В 2Т.- М.: Просвещение, 1972.-511 с., 439 с.

5. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.- М.: Наука, 1972.- 496 с.

6. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.- М.: АСТ: Астрель., 2003.-560 с.

7. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу.- М.: Просвещение, 1973.-255 с.

8. Задачник по курсу математического анализа: В 2ч./Под ред. Н.Я.Виленкина. - М.: Просвещение, 1971.-350 с., 336 с.

9. Русак В.М. і інш. Курс вышэйшай матэматыкі.- Мн: Выш. Шк., 1994.-431 с.

10. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. - М.: Высш. шк., 1999. -694 с.

Вспомогательная литература

1. Зорич В.А. Математический анализ. - М.: Наука, 1981.-544 с.

2. Райков Д.А.Одномерный математический анализ.- М.:Выш.шк.,1982.-415с.

3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: В 2Т. - М.: Высш. шк., 1981.-687 с., 584 с.

4. Уваренков И.М., Малер М.З. Курс математического анализа.- М.: Просвещение, 1976.-640 с.

5. Архипов Б.М., Мазаник А.А., Петровский Г.Н., Урбанович М.И. Элементарные функции.- Мн.: Выш.шк., 1991.-140 с.

Глава 1 соответствия. Действительные числа

§ 1. Соответствия между множествами

Множества и операции над ними

Основными неопределяемыми понятиями математики являются «множество», «элемент множества». Множества представляют собой совокупность каких-либо предметов (объектов), обладающих общим свойством. Эти объекты бывают разной природы: числовые, геометрических фигур, людей и т.д. Договоримся называть их «элементами множества». Множества принято обозначать большими буквами латинского алфавита А,В, С,…, Х, У, Z, а элементы множеств – маленькими буквами латинского алфавита a, b, c, …, x, y, z. Если некоторый объект a является элементом некоторого множества A, то говорят, что «элемент а принадлежит множеству А» и обозначают а А. Таким образом, множества состоят из элементов и в зависимости от их числа бывают конечными и бесконечными, пустыми (). Для записи множеств используют фигурные скобки, в которых через запятую перечисляются все элементы. Но если множество бесконечное, то перечислить все его элементы мы не сможем. В таких случаях мы будем использовать такую запись:

А= {x| свойство, которым обладают все элементы}.

В нашем курсе мы будем изучать в основном числовые множества.

Далее будем использовать следующие кванторы

• общности вместо слов «для любых» или «для всех (каждого)»

• существования вместо слов «существует» или «есть»

и общепринятые математические символы вместо слов:

• А В «если А, то В» или «из А следует В»

• А В «А тогда и только тогда, когда В» или «А равносильно В»

• ˄ знак конъюнкции, заменяет союз «и»

• ˅ знак дизъюнкции, заменяет союз «или»

Множества могут находиться или не в следующих отношениях:

• пересечения – множества А и В находятся в отношении пересечения (А∩В), если существуют элементы, принадлежащие и одному и другому множествам одновременно и существуют элементы, принадлежащие только множеству А и только множеству В;

• включения – множества А и В находятся в отношении включения, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В, говорят, что множество А является подмножеством множества В и обозначают AB;

• равенства – множества A и B называются равными (A = B), если они состоят из одних и тех же элементов.

Следствия

1.1. Каждое множество является подмножеством самого себя: A  А.

1.2. Пустое множество является подмножеством любого множества A:   A.

Множества A и  называют несобственными подмножествами множества A, все остальные – собственными подмножествами множества A.

Операции над множествами

Пусть А и В — некоторые множества.

Определение 1.1. Объединением двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Обозначается: АВ.

На рис. 1 показано объединение множеств А и В при помощи диаграммы Эйлера–Венна.

Рис. 1

Прежде, чем рассмотреть примеры объединения множеств, заметим, что согласно определению объединения х  А  В  х  А ˅ х  В.

Свойства объединения множеств

Из определения следует, что в А È А входят те же самые элементы, т.е. А È А = А. Вообще, когда B Ì A, то А È В = А. В частности, А È  = А.

Операция объединения подчиняется переместительному закону:

А È В = В È А.

Операцию объединения можно распространить на любое число множеств. Когда А, В, С — три произвольные множества, то (А È В) È С есть множество элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А, В, С.

В общем случае объединение совокупности множеств обозначается и состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств .

Операция объединения подчиняется сочетательному закону:

(А È В) È С = А È (В È С).

Определение 1.2. Пересечением множеств A и B называется множество, состоящее их тех и только тех элементов, которые одновременно принадлежат множествам A и B. Обозначается: АВ.

Согласно определению пересечения х  А В  х  А ˄ х  В.

Пересечение множеств А и В иллюстрируется на рис. 2.

Рис. 2

Свойства пересечения множеств

Очевидно, что А Ç А = А; вообще, когда В  А, то В  А = В. Из определения пересечения следует: А  В = В  А, т.е. операция пересечения коммутативна.

Имеет место и следующее равенство: А   = .

Операцию пересечения легко распространить и на случай больше двух множеств. Рассмотри три множества А, В, С. Пересечение А Ç В есть множество общих элементов множеств А и В, поэтому (А Ç В)  С есть множество элементов, принадлежащих одновременно трём множествам А, В, С.

Аналогично определяется и операция пересечения любого числа множеств. Из приведенного правила пересечения трех множеств следует, что операция пересечения ассоциативна: (А Ç В)  С = А  (В Ç С). Поэтому используется запись А Ç В  С. В общем случае пересечение совокупности множеств (i = 1, 2, …, n) обозначается и состоит из элементов, принадлежащих сразу всем множествам , .

Заметим, что относительно двух операций пересечения и объединения множеств выполняются два дистрибутивных (распределительных) закона:

1) (А Ç В)  С = (А  С)  (В  С);

2) (А  В)  С = (А  С)  (В  С).

Докажем второй из этих законов (первый доказывается аналогично).

Пусть х Î (А  В)  С. Значит, х Î А  В и х Î С. Из того, что х Î А  В, следует, что обязательно выполняется по крайней мере одно из двух утверждений: х Î А или х Î В. Когда х Î А, то из того, что х Î С, следует, что х Î А  С. Значит, х Î (А  С)  (В  С). Когда же х Î В, то из того, что х Î С, следует, что х Î В  С, но тогда х Î (А Ç С)  (В Ç С).

Таким образом, любой элемент множества (А  В) Ç С является элементом и множества (А Ç С) È (В Ç С).

Докажем теперь обратное. Пусть х Î (А Ç С) È (В Ç С). Возможен один из случаев: х Î А Ç С или х Î В Ç С, т.е. х Î А и х Î С, или х Î В и х Î С. Отсюда получаем, что х Î С и х Î А  В, а это свидетельствует о том, что х Î (А È В) Ç С. Таким образом, второй дистрибутивный закон доказан полностью.

Определение 1.3. Разностью двух множеств A и B называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат A и не принадлежат В. Обозначается: А \ В.

Согласно определению разности х Î А \ В Û х Î А ˄ х  В.

Графическое изображение разности А \ В множеств А и В показано на рисунке 3 (заштрихованная область — это А \ В).

Рис. 3

Из определения разности следует, в частности, что А \ А = ; А \ В  В \ А.

Определение 1.4. Если множество B является подмножеством множества A, то разность множеств A и B называется дополнением множества B до множества A. Обозначается:

А \ В=С_АВ или или

Графическое изображение дополнения множества В до множества А показано на рис. 4.

Рис. 4