§ 2. Действительные числа

Из СШ известны следующие обозначения:

N – множество натуральных чисел,

Z – множество целых чисел,

Z₀ – множество целых неотрицательных чисел,

Q – множество рациональных чисел,

I – множество иррациональных чисел,

R – множество действительных чисел.

В курсе СШ под действительным числом понимают бесконечную десятичную дробь без 9 в периоде. Если бесконечная десятичная дробь – периодическая, то это рациональное число, а если бесконечная десятичная дробь – непериодическая, то это иррациональное число.

Из курса математики СШ известно, что множество, состоящее и рациональных и иррациональных чисел, называется множеством действительных чисел (R). На множестве R вводятся операции «сложения», «умножения», отношение порядка (сравнение). Формулируются 3 группы аксиом:

I. Аксиомы сложения и умножения

1. a+ b = b + a

2. a+ (b + c )= (a + b) + c

3. a ∙ b = b ∙ a

4. a ∙ (b ∙ c )= (a ∙ b) ∙ c

5. (a + b) ∙ c= a ∙ c + b ∙ c

6. Существует число 0 такое, что а + 0 = а для любого действительного числа а

7. Для любого действительного числа а существует число – а такое, что а + (– а) = 0

8. Существует число 1≠0 такое, что а ∙ 1 = а для любого действительного числа а

9. Для любого действительного числа а≠0 существует число а ^–1 такое, что а ∙ а ^–1 = 1

II. Аксиомы порядка

Для любых

1. Для любых либо , либо .

2. Если , то x=y.

3. Если , то .

4. Если х≤у, то для любого z выполняется х + z ≤ у + z

5. Если х≤у, то для любого z > 0 выполняется х ∙ z ≤ у ∙ z,

а для любого z < 0 выполняется х ∙ z ≥ у ∙ z.

III. Аксиома непрерывности. Пусть X и Y два непустых множества действительных чисел. Если выполняется неравенство , то , такое, что .

Все остальные свойства можно получить из этих аксиом.

Такой подход к определению множества действительных чисел называется аксиоматическим, действительные числа – это множество, элементы которого удовлетворяют аксиомам групп I–III.

Между множеством действительных чисел и точками любой прямой можно установить взаимно однозначное соответствие.

Рассмотрим любую прямую и отметим на ней произвольно точку 0 – начало отсчёта. Точка 0 разбивает данную прямую на два луча. Один из них назовём положительным и обозначим стрелкой, а другой отрицательным. От точки 0 отложим на положительном луче произвольный отрезок и назовём его единичным (его длину примем за единицу измерения длин). Из СШ известно, что прямая, с выбранным на ней началом отсчёта 0, положительным направлением и единичным отрезком, называется координатной прямой.

Возьмем произвольное действительное число х. Возможны случаи:

1) x>0. Отложим на положительном луче координатной прямой от точки 0 отрезок длины x. Правый конец полученного отрезка – соответствующая x точка.

2) x<0. Отложим на отрицательном луче координатной прямой от точки 0 отрезок длины (– x). Левый конец полученного отрезка – соответствующая x точка.

3) x=0, соответствующая ему точка – точка 0.

Таким образом, установили взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и точками координатной прямой. Поэтому в математике принято множество R (действительных чисел) называть числовой прямой, а его элементы, т.е. действительные числа, точками числовой прямой. Часто для наглядности вместо действительного числа х рассматривают ту точку на координатной прямой, которая соответствует этому действительному числу. Эту точку называют геометрическим изображением числа х и обозначают так же через х.

Расширение множества действительных чисел

Определение 2.1. Если множество R (действительных чисел) дополнить символами + и – , и ввести операции «сложения», «умножения», отношение порядка следующим образом:

1. выполняется неравенство – <x<+ .

2.

3.

4. Если x>0, то ; если x<0, то .

5.

6. Операции неопределенны.

Тогда полученное множество называется расширенным множеством действительных чисел и обозначается или .