П.3. Основные свойства

1.Монотонные функции

Определение 6.5. Пусть функция задана на некотором множестве Х. Данная функция называется возрастающей (убывающей) на множестве Е  Х, если для любых х₁ и х₂ из множества Е, таких что х₁  х₂, выполняется неравенство

.

Иначе: функция f называется возрастающей (убывающей) на множестве Е, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее (меньшее) значение функции (рис. 22).

Рис.3

Если же для любых значений х₁, х₂, взятых из некоторого множества Е Ì Х и удовлетворяющих условию х₁  х₂, вытекает некоторое неравенство f(х₁)  f(х₂) (или f(х₁)  f(х₂)), то функция называется неубывающей (невозрастающей) на множестве Е.

Пример 6.6. Доказать, что сумма двух возрастающих ( убывающих ) на множестве Е функции есть функция возрастающая ( убывающая) на этом множестве.

2. Функции чётные и нечётные

Определение 6.6. Функция называется четной (нечетной), если при изменении знака у любого значения аргумента, взятого из области определения функции, значения функции не изменяются (изменяют только знак), т.е. .

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример 6.7. Доказать, что произведение чётной функции на нечётную есть функция нечётная.

3. Периодические функции

Определение 6.7. Функция называется периодической, если существует такое число l  0 (называемое периодом), что в каждой точке области определения функции выполняется условие .

Пример 6.8. Доказать, что если число l - период функции, то число kl (k=-1, ±2, …) также является периодом.

4. Ограниченные и неограниченные функции

П.4. Операции над функциями

Определение 6.8. Суммой (разностью, произведением) функций f и g называется функция f+g (f–g, fg), область определения которой ( , ), а значения вычисляются по формуле (f+g)(х)=f(x)+g(x), (f–g)(x) =f(x)–g(x), (fg)(x)=f(x) g(x).

Пример 6.9.

Определение 6.9. Частным функций f и g называется функция , область определения которой , причём исключаем те х, для которых

g (х)=0, а значения вычисляются по формуле .

Пример 6.10.

Определение 6.10. Пусть y является функцией переменной u, а переменная u, в свою очередь, является функцией от переменной х, то есть и . Тогда функция называется функцией от функции (или сложной функцией), если область определения функции f содержит множество значений функции . Переменная и в этом случае называется промежуточной переменной.

Пример 6.11.

П.5. Обратная функция

Определение 6.11. Пусть функция определена и возрастает (убывает) на промежутке Х, а область значений функции есть промежуток Y. Каждому значению у₀ из промежутка Y будет соответствовать одно значение х₀  Х такое, что (рис. 23). Следовательно, на промежутке Y определена функция . Функция называется обратной для функции и, наоборот, функция является обратной для функции .

Рис. 4

Переход от функции к обратной функции сводится только к изменению роли множеств Х и Y. Поэтому графики функций и (как множества точек плоскости хОу) совпадают. Однако обычно и для обратной функции аргумент обозначают через х, а значения функции –– через у, то есть вместо пишут . Графики функции и обратной функции в этом случае будут симметричны относительно прямой у = х (рис. 24).

Рис. 5

Пример 6.12.