- •1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •2. Дифференциальное и интегральное исчисления
- •3. Функции нескольких переменных
- •4. Дифференциальные уравнения
- •5. Ряды
- •6. Теория вероятностей
- •1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений
- •2. Дифференциальное и интегральное исчисления
- •3. Функции нескольких переменных
- •4. Дифференциальные уравнения
- •5. Ряды
- •6. Теория вероятностей
6. Теория вероятностей
Задача 17. Имеется 6 одинаковых шаров, занумерованных числами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наудачу раскладываем эти шары в 3 коробки по 2 шара. Найти вероятность того, что в каждой коробке окажется один нечётный шар и один чётный.
Решение. Опыт состоит в том, что 6 шаров наудачу раскладываем по 2 шара в 3 коробки. Все исходы опыта равновозможны и их число n конечно. Следовательно, можем применить классическую формулу вероятности , где А – событие, состоящее в том, что в каждой коробке окажется один нечётный шар и один чётный, а m – число всех исходов, благоприятствующих событию А.
Найдём n – число всех исходов опыта. Выбрать 2 шара из 6-ти в I-ю коробку можно способами. Из оставшихся 4 шаров выбрать 2 шара во II-ю коробку можно способами. Оставшиеся после этого 2 шара попадут в III-ю коробку ( ). Число всех исходов опыта равно . По формуле вычислим
Найдём m – число исходов, благоприятствующих событию А. Выбрать нечётный шар в I-ю коробку можно способами, чётный – способами. Следовательно, число всех благоприятствующих пар шаров для I-й коробки равно Обозначим сказанное схематично:
.
Аналогично найдём число благоприятствующих пар шаров для II-й коробки из оставшихся 4 шаров:
.
Для III-й коробки
.
Тогда , .
Искомая вероятность равна 0,4.
Задача 18. Три студента сдают экзамен. Для них приготовлены три билета: №1, №2, №3. Первый студент наудачу возьмёт любой билет, второй выберет наудачу один из двух оставшихся, третий заберёт оставшийся. Для каждого из студентов найти вероятность извлечь билет №1.
Решение. Пусть А1, А2, А3 – события, состоящие в том, что соответственно 1-й, 2-й и 3-й студент извлечёт билет №1. Требуется найти .
Очевидно, что Найдём . Первый студент взял один билет. Второму осталось два билета. Обозначим гипотезы:
Н1 – билет №1 уже извлечён; Н2 – билет №1 ещё не извлечён.
Н1, Н2 – полная группа событий ( сумма этих событий – достоверное событие и они не могут произойти одновременно). Следовательно, по формуле полной вероятности
Очевидно, что так как гипотеза Н2 означает что 1-й студент не взял билет №1. Итак,
Найдём Р(А3). .
Уже вычислено . Условная вероятность – это вероятность того, что 2-й студент не взял билет №1 при условии, что 1-й студент не взял билет №1, то есть вероятность не взять билет №1 из двух билетов, среди которых есть этот №1. Получаем . В результате .
Все искомые вероятности найдены:
Задача 19. MN – средняя линия треугольника АВС, MN АВ. На треугольник АВС наудачу поставлены три точки. Случайная величина Х равна числу точек, попавших на треугольник MBN. Построить ряд распределения этой случайной величины.
Решение. Случайная величина Х может принимать значения х1 = 0, х2 = 1,
х3 = 2, х4 = 3. Найдем вероятность появления каждого из этих значений.
Так как MN – средняя линия АВС, то .
Вероятность того, что точка, наудачу поставленная на
АВС, попадёт на MВN равна
Это испытание (наудачу ставим точку на АВС) повторяем 3 раза. Вероятность того, что в n = 3 испытаниях событие (попадание точки на MВN ) произойдёт ровно k раз вычислим по формуле Бернулли:
хk
0
1
2
3
pk
Построим искомый ряд распределения .
Задача 20. Задан ряд распределения дискретной случайной величины Х. Найти неизвестный параметр С, математическое ожидание M(X), дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение и вероятность P(a < X < b).
хk
–5
–2
4
7
pk
0,4
С
0,35
0,1
a
= – 3,
b
= 6.
Решение. Сумма вероятностей всех возможных значений Х равна единице. Следовательно, 0,4 + С + 0,35 + 0,1 = 1, С = 0,15.
Таким образом найдены
Задача 21. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х. Найти неизвестный параметр С, математическое ожидание M(X), дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение и вероятность P(a < X < b).
Решение. Плотность распределения непрерывной случайной величины удовлетворяет условию
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 3
Общие рекомендации студентам по работе над контрольной работой 3
Вопросы к экзамену по курсу “Высшая математика” 4
Литература 9
Задания для контрольных работ 9
Методические указания к решению типовых задач 23
Тема 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия 23
Тема 2. Дифференциальное и интегральное исчисления 27
Тема 3. Функции нескольких переменных 34
Тема 4. Дифференциальные уравнения 35
Тема 5. Ряды 37
Тема 6. Теория вероятностей 40