1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений

Зная, что система совместна, решим ее:

а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса.

Решение. а) По формулам Крамера , где

;

;

;

,

находим: ;

б) Для нахождения решения системы с помощью обратной матрицы запишем систему уравнений в матричной форме ,

где - основная матрица системы, и – матрицы-столбцы неизвестных и свободных членов.

Решение системы в матричной форме имеет вид , где - обратная матрица для невырожденной матрицы . Матрица определяется формулой

, где – присоединенная матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения элементов матрицы .

У нас ,

т.е. матрица - невырожденная,

, ,

, ,

, ,

, ,

. Тогда .

Решение системы:

.

То есть, ;

в) Решим систему методом Гаусса. Для чего составим расширенную матрицу системы и проведем элементарные преобразования строк: первую строку умножим на 2 и вычтем из второй строки, затем первую строку умножим на 3 и вычтем из третьей строки. После чего разделим элементы третьей строки на (–16).

Имеем: .

Полученной матрице, эквивалентной заданной матрице , соответствует система уравнений

эквивалентная исходной.

Из последнего уравнения следует, что . Подставив значение во второе уравнение системы, получим . Подставив значения и в первое уравнение системы, получим . Итак, .

Проверкой легко убедиться в правильности найденного решения.

Задача 2. Даны вершины треугольника : . Найти:

а) уравнение стороны (записать общее и параметрические уравнения);

б) уравнение высоты (записать его в отрезках);

в) уравнение медианы (записать его в каноническом виде);

г) точку пересечения медианы и высоты ;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину параллельно стороне (записать его в нормальном виде);

е) расстояние от точки до прямой .

Решение.

а) Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки, получим уравнение : , откуда или – общее уравнение прямой ;

и – параметрические уравнения прямой ;

б) Угловой коэффициент прямой . С учетом перпендикулярности прямых и угловой коэффициент высоты . По точке и угловому коэффициенту составляем уравнение высоты : или . А в отрезках ;

в) Находим координаты середины отрезка : . Теперь по двум известным точкам и составляем уравнение медианы :

– каноническое уравнение прямой;

г) Уравнение медианы , а высота . Для нахождения координат точки пересечения этих прямых составляет систему уравнений Решая ее, получаем ;

д) Так как прямая, проходящая через точку , параллельна стороне , то их угловые коэффициенты равны . Тогда по точке и угловому коэффициенту составляем уравнение прямой : или . Чтобы привести его к нормальному виду, введем нормирующий множитель , где знак выбирается противоположным знаку в общем уравнении прямой . У нас . Тогда нормальное уравнение нашей прямой имеет вид: ;

е) Расстояние от точки до прямой вычисляем по формуле:

, где точка имеет координаты , – уравнение заданной прямой. У нас . Решение задачи проиллюстрировано на рисунке.