4. Дифференциальные уравнения

101 – 110. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения (особые решения не рассматривать).

101. 102.

103. 104. .

105. . 106.

107. 108.

109. 110.

111 – 120. Найти частное решение (частный интеграл) дифференциального уравнения.

111. 112.

113. 114.

115. 116.

117. 118.

119. 120.

121 – 130. Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка.

121. 122. 123.

124. 125. 126.

127. 128. 129.

130. .

5. Ряды

131− 140. Исследовать на сходимость заданный числовой ряд с положительными членами, используя достаточные признаки сходимости.

141 − 150. Найти область сходимости функционального ряда

6. Теория вероятностей

161 – 170. Для решении этих заданий применить классическую формулу вероятности.

161. В лифт шестиэтажного дома на первом этаже вошли 3 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выйдет на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность того, что все пассажиры выйдут на разных этажах.

162. На полке случайным образом расставляются 10 учебников, три из которых по математике, а остальные – по другим предметам. Найти вероятность того, что учебники по математике окажутся стоящими рядом.

163. Восемь шахматистов по жребию разделены на две команды по 4 человека. Найти вероятность того, что два сильнейших шахматиста оказались в разных командах.

164. Имеется 7 карточек с номерами 3, 3, 3, 3, 7, 7, 7. Наудачу извлекаем 4 карточки. Найти вероятность того, что сумма номеров извлечённых карточек равна 20.

165. В спортивной секции занимаются 9 школьников: 2 пятиклассника, 3 шестиклассника и 4 семиклассника. На соревнования из них наудачу отобрано 6 человек. Найти вероятность того, что в команду попали по 2 школьника из каждого класса.

166. Из последовательности целых чисел от 1 до 10 наудачу выбирают три различных числа. Найти вероятность того, что два из них окажутся чётными, а одно – нечётным.

167. Абонент забыл три последние цифры номера телефона и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры нечётны и различны. Найти вероятность того, что номер набран правильно.

168. Четыре пассажира автобуса могут выйти с одинаковой вероятностью на любой из шести остановок. Найти вероятность того, что все они выйдут на разных первых четырёх остановках.

169. В группе 6 детей – три мальчика и три девочки. Имеется 6 шариков – три зелёных и три красных. Каждому малышу наудачу раздали по одному шарику. Найти вероятность того, что мальчики получили зелёные шарики, а девочки – красные.

170. За круглым столом случайным образом сели 2 студента и 4 школьника. Найти вероятность того, что студенты сидят рядом.

171 – 180. При решении этих заданий могут понадобится теоремы сложения и умножения вероятностей, формула Бернулли, формула полной вероятности, формула Байеса.

171. Имеются три игральных кости. Грани первой кости обозначены числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, второй – числами 1, 1, 3, 5, 5, 6, третьей – числами 1, 1, 2, 2, 6, 6. Наудачу извлекаем и выбрасываем одну игральную кость. Выпало чётное число. Найти вероятность того, что была выброшена вторая игральная кость.

172. Вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками равны соответственно 0,7, 0,8 и 0,9. Наугад выбранный стрелок выстрелил в мишень. Мишень поражена. Найти вероятность того, что стрелял третий стрелок.

173. Вероятности выйгрыша по лотерейному билету первого, второго и третьего выпуска соответственно равны 0,2, 0,3 и 0,4. Куплены по одному билету каждого выпуска. Найти вероятность того, что выиграет: а) ровно 2 билета; б) хотя бы один билет.

174. В круге радиуса 4 размещён меньший круг радиуса 2. На большом круге наудачу поставлены 5 точек. Найти вероятность того, что в малый круг попадёт: а) ровно одна точка; б) хотя бы одна точка.

175. Наудачу названы 4 целых числа из отрезка [12; 21]. Найти вероятность того, что среди названных чисел имеется: а) ровно 2 числа, кратных 3; б) хотя бы одно число, кратное 5.

176. Участок электрической цепи MN состоит из элементов, указанных на приведённой схеме (см. рис.1). Все элементы цепи работают независимо друг от друга. В таблице указаны вероятности выхода из строя элементов за некоторый промежуток времени. Найти вероятность разрыва цепи за этот промежуток времени.

177. Туристы вышли из пункта А, выбирая на каждом разветвлении дорог наугад один из возможных путей, исключая тот, по которому пришли в этот пункт ( см. рис. 2 ). Найти вероятность того, что туристы попадут в пункт В.

178. Вероятность ровно одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,23. Вероятность поражения цели при одном выстреле первым орудием равна 0,8. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле вторым орудием.

179. Точка О – точка пересечения диагоналей квадрата ABCD. На квадрат ABCD наудачу ставим 4 точки. Найти вероятность того, что в треугольник AOB попадёт: а) ровно три точки; б) хотя бы одна точка.

180. В двух урнах находятся белые и чёрные шары: в первой – 3 белых и 2 чёрных, во второй – 1 белый и 3 чёрных. Из первой урны наугад извлечён один шар и переложен во вторую, после чего из второй урны наугад извлечён один шар. Найти вероятность того, что шар, извлечённый из второй урны, окажется белым.

181–190. В заданиях определена дискретная случайная величина Х . Построить ряд распределения этой случайной величины.

181. Имеются три лотерейных билета. Вероятность выигрыша для каждого билета равна 0,6. Случайная величина Х равна числу выигравших лотерейных билетов.

182. В ящике восемь деталей, из которых четыре являются стандартными. Наудачу извлекаем три детали. Случайная величина Х равна числу извлечённых стандартных деталей.

183. На прямоугольнике ABCD наудачу ставим 4 точки. Случайная величина Х равна числу точек, попавших на треугольник АВС.

184. Два студента сдают экзамен. Вероятности сдать экзамен на высшую оценку для первого и второго студентов соответственно равны 0,7 и 0,8. Случайная величина Х равна числу полученных высших оценок.

185. На первой полке восемь книг, шесть из которых по математике. На второй полке четыре книги, две из которых по математике. С каждой полки наудачу взяли по одной книге. Случайная величина Х равна числу книг по математике, взятых с полок.

186. Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень одним выстрелом равна 0,8. Случайная величина Х равна числу попаданий.

187. Шесть карточек обозначены числами 0, 1, 2, 3, 4, 5. Наудачу извлекаем три карточки. Случайная величина Х равна числу извлечённых карточек, на которых написаны числа – корни уравнения .

188. Игральную кость выбрасываем три раза. Грани игральной кости обозначены числами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Случайная величина Х равна числу выпавших шестёрок.

189. В урне 6 шаров – 3 белых и 3 чёрных. Наудачу извлекаем три шара. Случайная величина Х равна числу белых шаров среди извлечённых.

190. На отрезке [3; 12] наудачу отмечаем три точки. Случайная величина Х равна числу точек, попавших на отрезок [4; 10].

191–200. Задан ряд распределения дискретной случайной величины Х. Найти неизвестный параметр С, математическое ожидание M(X), дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение и вероятность P(a < X < b).

191. 192.

193. 194.

1 95. 196.

197. 198.

1 99. 200.

201–210. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х. Найти неизвестный параметр С, математическое ожидание M(X), дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение и вероятность

P(a < X < b).

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ