3. Функции нескольких переменных

Задача 9. Проверить, удовлетворяет ли уравнению функция .

Решение. Находим частные производные первого и второго порядка:

,

. Подставляем полученные значения производных в левую часть исходного уравнения: .

В правой части имеем: .

Сравнивая полученные результаты, видно, что данная функция удовлетворяет исходному уравнению.

Задача 10. Исследовать на экстремум функцию

Решение. Находим первые частные производные данной функции:

, .

Приравнивая их к нулю, получаем систему уравнений:

Получили стационарные точки данной функции: . Выясним, какие из этих точек являются точками экстремума. Для этого вначале найдем вторые частные производные данной функции:

.

Составим определитель .

Подставляя в координаты стационарных точек и используя достаточные условия экстремума, имеем: для точки , т.е. экстремума нет, для точки , т.е. экстремума нет, для точки , т.е. экстремума нет, для точки и , т.е. имеем точку локального минимума функции, в которой .

4. Дифференциальные уравнения

Задача 11. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения (особые решения не рассматривать) .

Решение. Заменим . . Это уравнение с разделяющимися переменными. Нужно умножить или разделить обе части уравнения на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входило только , а в другую – только , и затем проинтегрировать обе части. Умножим последнее уравнение на . . Интегрируем .

– общий интеграл.

Задача 12. Найти частное решение (частный интеграл) дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию

.

Решение. Разделим обе части уравнения на .

(*). Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Решение ищем в виде , тогда . Подставляем и в уравнение (*)

, (**)

Функцию находим из условия

– это уравнение с разделяющимися переменными.

. Интегрируем ,

, . В качестве функции взяли одно частное решение . Подставляем в уравнение (**), получаем

, , тогда .

Следовательно, общее решение исходного уравнения

. Используя начальное условие ,

найдем : , откуда .

Частное решение исходного уравнения будет .

Задача 13. Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка .

Решение. Уравнение не содержит искомой функции. Введем новую функцию , тогда . Исходное уравнение примет вид: .

Это уравнение с разделяющимися переменными .

Интегрируем .

.

– общее решение.

5. Ряды

Задача 14. Исследовать на сходимость заданный числовой ряд с положительными членами, используя достаточные признаки сходимости.

Решение. а) Используем признак Даламбера:

если члены ряда положительны и , то

при L < 1 ряд сходится, при L > 1 ряд расходится,

при L = 1 ряд нужно исследовать другими методами.

Записываем общий член ряда . Член получается из заменой номера n на номер n + 1: .

б) Используем радикальный признак Коши :

если члены ряда положительны и , то

при L < 1 ряд сходится, при L > 1 ряд расходится,

при L = 1 ряд нужно исследовать другими методами.

в) Используем интегральный признак Коши. Пусть члены ряда убывают, функция f (x) непрерывна на [a;+) и . Тогда

если несобственный интеграл сходится, то ряд сходится,

если несобственный интеграл расходится, то ряд расходится.

Несобственный интеграл сходится (имеет конечное значение), следовательно, ряд сходится.

Задача 15. Найти область сходимости функционального ряда .

Решение.

По следствию из теоремы Лейбница, остаток ряда, начинающийся с третьего слагаемого, не превосходит числа  = 0,005 и, следовательно, сумма первых двух слагаемых отличается от суммы ряда не более чем на 0,005. Таким образом,