2. Дифференциальное и интегральное исчисления

Задача 3. Найти указанные пределы:

а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

Решение.

а)

;

б)

;

в)

;

г)

;

д) Здесь используем 2-й замечательный предел . Получим

Задача 4. Продифференцировать функции: а) ;

б) ; в) ; г) .

в) Прологарифмируем данную функцию:

.

Тогда .

Выразим ;

г) Продифференцируем, имеем равенство:

Выразим

Задача 5. Найти наименьшее и наибольшее значение функции

на отрезке .

Решение. Функция определена на этом отрезке. Найдем критические точки: . Если , то . Найденная точка принадлежит отрезку . существует для всех , т.к. для всех . Найдем значения функции при и : .

Следовательно, наименьшего значения данная функция достигает в точке : , а наибольшего – в точке .

Задача 6. Исследовать функцию и построить её график.

Решение. Общая схема построения графика функции:

1. находим область определения функции;

2. исследуем функцию на периодичность, четность или нечетность;

3. исследуем функцию на монотонность и экстремум;

4. находим промежутки выпуклости и точки перегиба;

5. отыскиваем асимптоты графика функции;

6. для уточнения хода графика функции находим точки пересечения его с осями координат;

7. строим график функции.

В нашем случае имеем:

1. Областью определения функции является множество

.

2. Функция нечетная, т.к. область ее определения симметрична относительно начала координат и выполнено условие . Функция непериодическая.

3. Находим . Видим, что

для всех и не существует, если . Эти

точки разбивают область определения функции на промежутки

. Исследуем знак производной на этих

промежутках. Результаты заносим в таблицу

				2
	+		+		+
	возрастает		возрастает		возрастает

Из таблицы видно, что функция всюду возрастает на и точки локального минимума и максимума не имеет.

4. Находим

. Точками возможного перегиба являются точки

. Они разбивают область определения функции на

промежутки . Исследуем знак на этих

промежутках. Результаты исследования заносим в таблицу

				0		2
	+		–	0	+		–
	выпукла вниз		выпукла вверх	0 перегиб	выпукла вниз		выпукла вверх

5. Вертикальными асимптотами являются и , причем

, , , .

Ищем наклонную асимптоту . Так как ,

, то – горизонтальная асимптота.

6 . Находим точки пересечения графика с осями координат. Это точка .

7. Строим график функции

Задача 7. Найти следующие интегралы.

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

Результат интеграла а) проверить дифференцированием.

Решение . а) . Произведем замену переменной . Дифференцируем это равенство или , тогда

Проверка: ;

б) .

Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

. Положим , .

Тогда , .

.

Отдельно вычислим . Разделим на по правилу деления Тогда .

.

Исходный интеграл равен

в) .

Разложим правильную рациональную дробь (степень числителя «2» меньше степени знаменателя «3») на сумму простейших дробей:

Приравниваем числители первой и последней дробей

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями:

.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему уравнений:

       

;

г) . Выделим полный квадрат в выражении, стоящем под корнем и сделаем замену переменной

.

Тогда

;

д) .

Под интегралом стоит иррациональная функция. Приведем ее к рациональной с помощью подстановки , где - наименьшее общее кратное показателей корней. Тогда , .

. Разделим “уголком” числитель на знаменатель . Получим

.

е) .

Интегралы вида , где – рациональная функция, приводятся к интегралам от рациональной функции нового аргумента с помощью универсальной тригонометрической подстановки . В результате имеем .

.

Задача 8. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функции . Сделать схематический чертеж.

Решение. Площадь фигуры, ограниченной графиком функции ,

п рямыми и осью , вычисляется по формуле .

Построим фигуру.